Колко е голяма безкрайността?
Идеята за бейзкрайност е трудно разбираема. Хората имат определена продължителност на живота, свикнали сме да работим с конкретни понятия и крайни обекти. Как бихме могли изобщо да си представим, че нещо би могло да продължава до безкрай.
Още в Древна Гърция математиците се борели с концепцията за безкрайност. Евклид доказва, че има безкраен брой прости числа. Аристотел осъзнава, че времето продължава винаги без да спира. Гърците наричали безкрайността апейрон, което означава "без граници" или "без предел". Те не били привърженици на тази идея, тъй като предпочитали да използват (малки) цели числа. Философът Зенон, живял през V в. пр. Хр., е известен със своите парадокси вклюващи идеята за безкрайност. Най-известният от тези парадокси е за Ахил и костенурката, в който Ахил - известен войн от Гръцката митология, се състезава с костенурката. Нека кажем, че той дава на костенурката да стартира надбягването с 50 метра преднина в 100 метрово състезание. Състезанието започва! Ахил се изстрелва като куршум. За 5 секунди той преминава 50-те метра и достига мястото, от което костенурката е започнала. Костенурката обаче, също се движи и е преминала половин метър, така че сега има половин метър преднина пред Ахил. Той пробягва този половин метър за 0,05 секунди, но отново за това време костенурката се е движила и е успяла да премине 5 милиметра и отново има преднина. Всъщност всеки път, когато Ахил достигне до точката, на която е била костенурката тя вече се е предвижила по-напред от това място. Това продължава безкраен брой настигания, всяко от което по-малко от предишното. И така Ахил никога не успява да достигне до костенурката.
Еднакви ли са всички безкрайности?
Хиляда и петстотин години по-късно италианският учен Галилео Галилей си задал въпроса дали всички безкрайности са еднакво големи или има различни видове. Нека разгледаме един пример: Всяко естествено число има квадрат - $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$ и т.н. Повечето естествени числа не са квадрати на цели числа ($2$, $3$, $5$, $6$, $7$, ... и т.н.) съответно съществуват повече естествени числа отколкото квадрати. Броят на естествените числа е безкраен, както и броят на квадратите, следователно безкрайно многото естествени числа би трябвало да са повече от безкрайно многото квадрати. От друга страна всяко естествено число е корен квадратен от квадрата му, което предполага, че бихме могли да съпоставим всяко естествено число с квадрата. С други думи, съществува съответствие едно към едно между естествените числа и техните квадрати, следователно двете безкрайности трябва да са еднакви. Този пример е известен като Парадокса на Галилео. Той стига до заключението, че определения като "равно", "по-голямо" и "по-малко" са приложими единствено към крайни величини.
Немският математик Георг Кантор стига дори по-далеч дефинирайки различни по големина безкрайности.
Съществува, например множество на всички естествени числа: $1$, $2$, $3$,$\ldots$ Съществува множество на всички четни числа: $2$, $4$, $6$, $\ldots$ Всяко четно число може да бъде съпоставено с естествено число:
$2\rightarrow 1$
$4\rightarrow 2$
$6\rightarrow 3$ и т.н.,
от това би следвало, че четните числа са изброими. Още повече, безкрайността на четните числа е същата като безкрайността на нечетните числа и безкрайността на естествените числа.
Има, също така, множество от реални числа, като $1,0;1,01;1,001;1,0001\ldots$. Кантор доказва, че множеството на реалните числа е неизброимо, защото те не могат да бъдат съпоставени с естествените числа. Следователно множеството на реалните числа е по-голямо от това на естествените, което довело до идеята, че съществуват много различни по големина безкрайни множества. Това изглежда някак си очевидно, след като показахме, че има безкрайно много реални числа между $1$ и $2$, но Кантор успява и да го докаже.
Хотелът на Хилберт
Нека си представим, че сте собственик на голям хотел...Всъщност толкова голям, че стаите му са безброй много. Освен това, Вие сте невероятен предприемач и управител на този хотел и сте успели да намерите толкова гости, че да запълните всяка от стаите му. След като сте запълнили всяка от стаите на хотела си и се радвате на заслужена почивка, при Вас идва закъснял турист и пита дали имате свободна стая. Вие се замисляте за момент и Ви хрумва невероятна идея: Ще преместите госта от стая номер $1$ в стая номер $2$, този от номер $2$ в номер $3$ и т.н., така стая номер $1$ остава свободна за закъснелия турист. Вече всички са настанени, но спокойствието Ви не трае не дълго... След известно време на рецепцията на Вашият хотел пристига друг пътник и пита за свободна стая. Вие вече знаете какво да направите за да настаните и този гост, местите човека от стая номер $1$ в стая номер $2$, този от номер $2$ в номер $3$ и т.н., и така отново стая номер $1$ остава свободна и за този пътник. Всъщност макар и всички стаи да са заети, въпреки това Вие може отново да приемете безкрайно много гости казано с други думи $\infty+\infty=\infty$.
Кгогато всеки път идват краен брой е ясно какво се прави. Въпросът е какво се прави, ако дойдат наведнъж толкова гости, колкото са всички естествени числа?
ОтговорИзтриване