Неравенства между страни и ъгли в триъгълник. Неравенство на триъгълника 7 клас

Преди да преминем към задачите от този урок, ще припомним някои важни факти, които ще използваме при решаването на задачите от този материал.

Теорема 1: В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.

Теорема 2: В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

Следствие 1: В правоъгълния триъгълник хипотенузата е по-голяма от всеки от катетите.

Следствие 2: Перпендикулярът от точка към права е по-малък от всяка наклонена спусната от същата точка към правата.

Теорема 3: В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни.

Следствие 3: Всяка страна в триъгълник е по-голяма от разликата на другите две страни.

Теорема 4: Ако всяка от три дадени отсечки е по-малка от сбора на другите две, то има триъгълник със страни, равни на тези отсечки.

1 Задача Ако върху продължението на основата $AB$ на равнобедрения $\triangle ABC$ е взета точка $M$ така, че точката $B$ е между точките $A$ и $M$. Докажете, че $AC<CM$.

Решение:

Нека $\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC=\alpha$ ($\triangle ABC$ равнобедрен по условие). Нека освен това $\sphericalangle ACB=\gamma$, $\sphericalangle BMC=\beta$ и $\sphericalangle BCM=\delta$. Тъй като $\sphericalangle DAC$ и $\sphericalangle MBC$ са външни ъгли в $\triangle ABC$, следва, че $\sphericalangle DAC=\sphericalangle MBC=\alpha+\gamma$. Ъгъл $DAC$ обаче, е външен ъгъл и за $\triangle AMC$, следователно $\sphericalangle DAC=\beta+\gamma+\delta$, от където имаме, че $\alpha+\gamma=\beta+\gamma+\delta$ и така получаваме, че $\alpha=\beta+\delta$ т.е. $\alpha>\beta$ и според Теорема 2 от този урок имаме, че $CM>AC$.

2 Задача Даден е триъгълник с дължини на страните $a$, $b$ и $c$. Ако $a$ е най-голямата страна, да се докаже, че отсечките с дължини $2a$, $b$ и $c$ не могат да са страни на триъгълник.

Решение: Според Теорема 4 от този урок. За да има триъгълник с дължини на страните $a$, $b$ и $c$, то трябва да са изпълнени и трите неравенства:
$a<b+c$, $b<a+c$ и $c<a+b$. От условието на задачата знаем, че $a>b$ и $a>c$. Ще покажем, че Теорема 4 не е изпълнена за триъгълник с дължини на страните $2a$, $b$ и $c$. Записваме неравенствата $2a<b+c$, $b<2a+c$ и $c<2a+b$. Нека съберем левите и десните страни на неравенствата $a>b$ и $a>c$, така получаваме, че $a+a>b+c\iff 2a>b+c$, което очевидно е противоречие с Теорема 4 за страни на триъгълника $2a$, $b$ и $c$.

3 Задача Да се докаже, че сборът от височините в триъгълника е по-малък от периметъра му.
Решение: 

Нека означим страните на триъгълника с $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$ и съответните им височини $AD=h_a$, $BF=h_b$ и $CE=h_c$. В правоъгълният $\triangle AEC$ имаме, че най-голямата страна е хипотенузата $AC=a$ и следователно според Следствие 1 от този урок $b>h_c$ . По същия начин имаме и, че в правоъгълният $\triangle BFC$ най-голямата страна е хипотенузата $BC=a$ от където имаме неравенството $a>h_b$,  накрая за правоъгълния $\triangle ABD$ имаме, че най-голямата страна е хипотенузата $AB=c$ и е изпълнено неравенството $c>h_a$. Сега, като вземем съответно левите и десните страни на трите неравенства, които получихме и ги съберем получаваме неравенството $a+b+c>h_a+h_b+h_c$, с което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа

1. Даден е $\triangle ABC$, в който $CH$ е височина, а $N$ е произволна точка от отсечката $AH$. Да се докаже, че $AC>NC$.

2. Височините, прекарани от върховете $A$ и $B$ на остроъгълния $\triangle ABC$, се пресичат в точката $O$. Докажете, че $AB>AO$ и $AB>BO$.

3. В остроъгълният триъгълник $ABC$ $\alpha=70^{\circ}$ и $\beta<\gamma$, докажете, че $\beta>20^{\circ}$ и $\beta<55^{\circ}$.

4. Ако $AC>BC$ и $CL$ е ъглополовяща в $\triangle ABC$, докажете, че $\sphericalangle ALC>90^{\circ}$.

5. Да се докаже, че ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са остри.

6. Даден е триъгълник $ABC$ с ъгли $\alpha$ и $\beta$ при върховете $A$ и $B$. Ако $H$ е петата на височината на триъгълника през върха $C$, да се определи положението на $H$ върху правата $AB$ в зависимост от ъглите $\alpha$ и $\beta$.

7. Дължините на две от страните на триъгълник са $1$ $cm$ и $3$ $cm$. Ако е известно, че дължината на третата страна е цяло число сантиметри, да се намери периметърът на триъгълника.

8. Даден е правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл при върха $A$. Върху катета $AB$ точките $P$ и $Q$ са такива, че $\sphericalangle PCQ=\sphericalangle QCB$. Коя от отсечките $PQ$ и $QB$ е по-голяма?

9. Даден е правоъгълен триъгълник $ABC$ с прав ъгъл при върха $A$. Върху катета $AB$ точките $P$, $Q$ и $T$ са такива, че $\sphericalangle PCQ=\sphericalangle QCT=\sphericalangle TCB$. Коя от отсечките $PQ$, $QT$ и $TB$ е най-голяма и коя е най-малка?

10. Да се докаже, че ако една ъглополовяща на триъгълник разполовява периметъра му, то триъгълникът е равнобедрен. 

11. Да се докаже, че ако в триъгълника $ABC$ $AC>BC$ и $CM$, $CL$ и $CH$ са съответно медиана, ъглополовяща и височина, то точката $L$ е между точките $M$ и $H$.

12. Да се докаже, че ако в триъгълника $ABC$ $AC>BC$ и $CM$ и $CL$ са медиана и ъглополовяща на триъгълника, то $CM>CL$.

13. Да се докаже, че разстоянието от произволна точка $P$ от основата $AB$ на равнобедрения триъгълник $ABC$ до върха му $C$ е по-малко от бедрото $AC$.

14. Да се докаже, че ако разстоянието от един от върховете на триъгълник до произволна точка от срещулежащата му страна е по-малко от всяка от другите две страни, то триъгълникът е равнобедрен.

15. Дадени са триъгълник $ABC$ и точка $P$, вътрешна за него. Да се докаже, че $\sphericalangle APB=\sphericalangle ACB$.

16. Да се докаже, че ако срещуположните ъгли на четириъгълник са равни, то и срещуположните му стани са равни.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите във видеото ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +