Трети признак за еднаквост на триъгълници 7 клас

Ще започним този урок, като припомним следната теорема:

Теорема 1: Ако страните на един триъгълник са съответно равни на страните на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

Тази теорема ще наричаме III признак за еднаквост на два триъгълника. Урока за първи и втори признак за еднаквост може да намерите тук.

Сега да разгледаме някои задачи.

1 Задача Отсечките $BD$ и $B_1D_1$ са медиани съответно в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Докажете, че ако $AC=A_1C_1$ и $BD=B_1D_1$ и $\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1$, то триъгълниците $ABC$ и $A_1B_1C_1$ са еднакви.

Решение:

Тъй като от условието на задачата имаме, че $AC=A_1C_1$ и от факта, че $BD$ и $B_1C_1$ са медиани следва, че (1) $AD=DC=A_1D_1=D_1C_1$.

Разглеждаме триъгълниците $ABD$ и $A_1B_1D_1$

1) $\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1$ (по условие);

2) $AD=A_1D_1$ (от (1));

3) $BD=B_1D_1$ (по условие), 

следователно $\triangle ABD\cong\triangle  A_1B_1D_1$ по I признак. От това пък, че тези два триъгълника са еднакви получаваме, че (2) $AB=A_1B_1$.

От това, че $\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1=\alpha$ следва, че (3) $\sphericalangle BDC=\sphericalangle B_1D_1C_1=180^{\circ}-\alpha$ (ъглите $\sphericalangle ADB$ и $\sphericalangle BDC$ са съседни ъгли, аналогично е и за $\sphericalangle A_1D_1B_1$ и $\sphericalangle B_1D_1C_1$,).

Разглеждаме триъгълниците $BDC$ и $B_1D_1C_1$

1) $BD=B_1D_1$ (по условие);

2) $CD=C_1D_1$ (от (1));

3) $\sphericalangle BDC=\sphericalangle B_1D_1C_1$ (от (3)),

следователно $\triangle BDC\cong\triangle B_1D_1C_1$ по I признак. От това пък, че тези два триъгълника са еднакви следва, че (4) $BC=B_1C_1$.

Сега разглеждаме $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$

1) $AB=A_1B_1$ (от (2));

2) $BC=B_1C_1$ (от (4));

3) $AC=A_1C_1$ (по условие),

следователно $\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ по III признак с което задачата е решена.

Нека отбележим, че задачата можеше да решим и веднага, след като покажем, че $\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1D_1$, тъй като $AB=A_1B_1$ и $\sphericalangle A=\sphericalangle A_1$ за триъгълниците $ABC$ и $A_1B_1C_1$ можем да кажем, че са еднакви по I признак.

2 Задача Докажете, че ако два триъгълника са равнолицеви и трите височини на единия триъгълник са съответно равни на трите височини на другия триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

Решение:

Нека $AL$, $BD$ и $CH$ са височините в $\triangle ABC$ и $A_1L_1$, $B_1D_1$ и $C_1H_1$ са височините в $\triangle A_1B_1C_1$. По условие имаме, че $AL=A_1L_1$, $BD=B_1D_1$ и $CH=C_1H_1$. Още в условието на задачата ни е казано, че двата триъгълника са равнолицеви, т.е. $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_1B_1C_1}$. Знаме, че лицето на един триъгълник е равно на страна по височина към нея разделено на две, следователно $S_{\triangle ABC}=\frac{AB.CH}{2}=\frac{BC.AL}{2}=\frac{AC.BD}{2}$ и $S_{\triangle A_1B_1C_1}=\frac{A_1B_1.C_1H_1}{2}=\frac{B_1C_1.A_1L_1}{2}=\frac{A_1C_1.B_1D_1}{2}$. Така можем да запишем равенството (1) $frac{AB.CH}{2}=\frac{A_1B_1.C_1H_1}{2}$ и от това, че по условие $CH=C_1H_1$ следва, че $AB=A_1B_1$, аналогично като запишем, че (2) $\frac{BC.AL}{2}=\frac{B_1C_1.A_1L_1}{2}$ и от това, че $AL=A_1L_1$ получаваме, че $BC=B_1C_1$ и от (3) $\frac{AC.BD}{2}=\frac{A_1C_1.B_1D_1}{2}$ получаваме, че $AC=A_1C_1$. 

Разглеждаме $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$

1) $AB=A_1B_1$ (от (1));

2) $BC=B_1C_1$ (от (2));

3) $AC=A_1C_1$ (от (3)),

следователно $\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ по III признак, с което задачата е решена.

Задачи за самостоятелна работа

1. Точките $C$ и $D$ от симетралата на отсечката $AB$ са от една и съща страна на $AB$. Известно е и че $AD^{\rightarrow}\cap BC^{\rightarrow}=E$ и $AC^{\rightarrow}\cap BD^{\rightarrow}=F$. Докажете, че $\sphericalangle CAE=\sphericalangle CBF$.

2. За $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ е дадено, че медианите $CM$ и $C_1M_1$ са равни. Ако $AB=A_1B_1$ и $AC=A_1C_1$, докажете, че:

а) $\triangle AMC\cong\triangle A_1M_1C_1$; б) $\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$.

3. Докажете, че два равнобедрени триъгълника са еднакви, ако бедро и медиана към него от единия триъгълник са съответно равни на бедро и медиана към него от другия триъгълник.

4. Докажете, че два триъгълника са еднакви, ако имат по две страни и медиани, излизащи от един и същи връх, съответно равни.

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +