Перпендикуляр от точка към права. Правоъгълен триъгълник с ъгъл $30^{\circ}$ 7 клас

Теорема 1: През точка, която лежи на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената.

Теорема 2: През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, перпендикулярна на дадената права.

Определение 1: Разстояние от точка до права се нарича дължината на перпендикуляра спуснат от точката към правата.

Теорема 3: Ако две прави са успоредни, то точките от едната от тях се намират на равни разстояния от другата права.

Теорема 4: Ако в правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е $30^{\circ}$, то катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата.

Теорема 5: Ако в правоъгълен триъгълник единият катет е равен на половината от хипотенузата, то острият ъгъл срещу този катет е $30^{\circ}$.

1 Задача: Намерете дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл $30^{\circ}$, ако тя е с $4$ см по-дълга от катета срещу ъгъла от $30^{\circ}$.

Решение: Нека $\sphericalangle ACB=90^{\circ}$, $\sphericalangle ABC=30^{\circ}$ и $AC=x$, следователно от условието $AB=x+4$.

Прилагаме Теорема 4: $AC=\frac{AB}{2} \implies x=\frac{x+4}{2}$

Решаваме уравнението: $2x=x+4 \implies x=4$

Така $AC=4$ см и $AB=8$ см.

2 Задача: Нека $\triangle ABC$ е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха $C$, $\sphericalangle ABC=60^{\circ}$ и $CD$ е височината от върха $C$. Докажете, че $AD=3BD$.

Решение: От $\sphericalangle ABC=60^{\circ}$ и $\sphericalangle ACB=90^{\circ}$ следва $\sphericalangle BAC=30^{\circ}$.

В $\triangle BDC$: $\sphericalangle BDC=90^{\circ}$, $\sphericalangle DBC=60^{\circ}$ $\implies$ $\sphericalangle DCB=30^{\circ}$.

Прилагаме Теорема 4:

За $\triangle ABC$: $BC=\frac{1}{2}AB$

За $\triangle BDC$: $BD=\frac{1}{2}BC \implies BC=2BD$

Следователно $2BD=\frac{1}{2}AB \implies AB=4BD$

Но $AB=AD+BD \implies 4BD=AD+BD \implies AD=3BD$.

3 Задача: В равностранния триъгълник $ABC$ точката $M$ е среда на $AC$. Разстоянието от точката $M$ до $BC$ е $24$ $cm$. Намерете дължината на отсечката $BM$.

Решение: Тъй като $MK\perp BC$, то $MK=24$ см.

В равностранния $\triangle ABC$: $\sphericalangle A=\sphericalangle B=\sphericalangle C=60^{\circ}$.

$BM$ е медиана, височина и ъглополовяща, следователно $\sphericalangle BMA=\sphericalangle BMC=90^{\circ}$ и $\sphericalangle ABM=\sphericalangle CBM=30^{\circ}$.

В $\triangle BMK$: $\sphericalangle MBK=30^{\circ}$, $\sphericalangle BKM=90^{\circ}$

От Теорема 4: $MK=\frac{1}{2}BM \implies BM=2 \times 24 = 48$ см.

Задачи за самостоятелна работа

1. Нека $\triangle ABC$ е правоъгълен с прав ъгъл при върха $C$, $\sphericalangle ABC=60^{\circ}$ и $AB=10$ см. Намерете периметъра на $\triangle BDC$, където $D$ е средата на хипотенузата $AB$.

2. Даден е правоъгълен триъгълник $ABC$ $(\sphericalangle C=90^{\circ})$, в който $AC=\frac{1}{2}AB$. През средата $P$ на катета $AC$ е построена права, успоредна на $BC$, която пресича $AB$ в точката $Q$. Докажете, че $PQ=\frac{1}{2}BC$.

3. За $\triangle ABC$ с $\sphericalangle BAC=105^{\circ}$ и $\sphericalangle ACB=45^{\circ}$ е построена височината $AH$ $(H\in BC)$. Докажете, че $AB=AH+CH$.

4. В правоъгълния $\triangle ABC$ $(\sphericalangle C=90^{\circ})$ $AL$ $(L\in BC)$ е ъглополовяща. Докажете, че:

а) ако $AL=BL=2CL$, то $\sphericalangle B=30^{\circ}$;

б) ако $\sphericalangle B=30^{\circ}$, то $AL=BL=2CL$.

5. В $\triangle ABC$ $\sphericalangle ACB=90^{\circ}$ и $AB=2BC$. Симетралата на страната $AB$ пресича страните $AB$ и $AC$ съответно в точките $M$ и $N$. Докажете, че:

а) $\sphericalangle ABC=60^{\circ}$; б) $S_{\triangle AMC}=S_{\triangle MBC}$; в) $BN$ е симетрала на $MC$; г) $S_{\triangle AMN}:S_{\triangle ABC}=1:3$.

Видео уроци

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +