Съседни и противоположни ъгли 7 клас

Съседни и връхни ъгли - дефиниции и задачи

Определение 1: Два ъгъла, които имат общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи, се наричат съседни ъгли.

Теорема 1: Сборът на два съседни ъгъла е ${180}^{\circ }$.

Определение 2: Ъгъл, който е равен на ${90}^{\circ }$ ще наричаме прав ъгъл.

Теорема 2: Съседен ъгъл на прав ъгъл, също е прав ъгъл (тази теорема е следствие от Теорема 1).

Доказателство: Нека $\mathrm{\angle }ACB=\alpha ={90}^{\circ }$ и $\mathrm{\angle }BCD=\beta =x^{\circ }$ са съседни. Следователно от Теорема 1 имаме, че $\alpha +\beta ={180}^{\circ }$. Така получаваме, че $\beta ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }.$ Следователно според Определение 2 $\mathrm{\angle }BCD={90}^{\circ }$ е прав ъгъл, с което теоремата е доказана.

Теорема 3: Ако два съседни ъгъла са равни, то всеки от тях е прав.

Доказателство: Нека $\mathrm{\angle }ACB=\alpha =x^{\circ }$ и $\mathrm{\angle }BCD=\beta =x^{\circ }$ са съседни. Следователно от Теорема 1 имаме, че $\alpha +\beta ={180}^{\circ }$. Така получаваме, че $x+x={180}^{\circ }$, следователно $2x={180}^{\circ }$, от където получаваме, че $x={90}^{\circ }$ и $\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }BCD={90}^{\circ }.$

Определение 3: Ъгъл, който е по-малък от ${90}^{\circ }$, се нарича остър ъгъл.

Определение 4: Ъгъл, който е по-голям от ${90}^{\circ }$ и по-малък от ${180}^{\circ }$, се нарича тъп ъгъл.

Определение 5: Две прави, които имат само една обща точка, се наричат пресекателни или пресичащи се прави. Общата им точка се нарича тяхна пресечна точка.

Твърдението "Правата $a$ пресича правата $b$ в точката $O$", за краткост ще означаваме по следният начин $a\cap b=O.$

Определение 6: Две прави, които нямат общи точки се наричат успоредни прави.

Твърдението: "Правата $a$ е успоредна на правата $b$" ще означаваме с $a\parallel b.$

Определение 7: Два ъгъла, раменете на които са противоположни лъчи, ще наричаме противоположни или още връхни ъгли.

На тази фигура ъглите $\mathrm{\angle }AOB$ и $\mathrm{\angle }BOD$ са връхни, както и ъглите $\mathrm{\angle }BOC$ и $\mathrm{\angle }AOD$ също са връхни.

Теорема 4: Всеки два връхни ъгъла са равни.

Доказателство: Ъглите $\mathrm{\angle }AOC$ и $\mathrm{\angle }BOC$ са съседни ъгли. Нека $\mathrm{\angle }AOC=\alpha$, следователно от Теорема 1 имаме, че $\mathrm{\angle }BOC={180}^{\circ }-\alpha$. От друга страна, ъглите $\mathrm{\angle }BOC$ и $\mathrm{\angle }BOD$ също са съседни ъгли, и отново от Теорема 1 имаме, че $\mathrm{\angle }BOD={180}^{\circ }-({180}^{\circ }-\alpha )$, от където получаваме, че $\mathrm{\angle }BOD=\alpha$, следователно двойката връхни ъгли $\mathrm{\angle }AOB$ и $\mathrm{\angle }BOD$, са равни. Аналогично и $\mathrm{\angle }BOC$ и $\mathrm{\angle }AOD$ също са равни (Докажете сами!).

Определение 8: Две прави се наричат перпендикулярни, ако при пресичането си образуват прав ъгъл.

Твърдението "Правата $a$ е перпендикулярна на правата $b$" означаваме с $a\perp b.$

Теорема 5: През точка, не лежаща на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената.

Може да си припомните основните геометрични фигури от тук.

1 Задача: Ако ъгъл $\mathrm{\angle }AOB$ е изправен, то намерете големината на $\mathrm{\angle }COD.$

Решение: Тъй като $\mathrm{\angle }AOC+\mathrm{\angle }COD+\mathrm{\angle }BOD=\mathrm{\angle }AOB={180}^{\circ }$, защото $\mathrm{\angle }AOB$ е изправен, следва че $x=180-({32}^{\circ }+{44}^{\circ })={104}^{\circ }$.

2 Задача: Лъчите на чертежа се пресичат в точката $O$. Да се намери големината на $\mathrm{\angle }COA$, ако $\mathrm{\angle }COA:\mathrm{\angle }COB=4:5$.

Решение: Ъглите $COA$ и $COB$ са съседни. Следователно според Теорема 1 $\mathrm{\angle }COA+\mathrm{\angle }COB={180}^{\circ }$. От условието на задачата имаме, че $\mathrm{\angle }COA=4x$ и $\mathrm{\angle }COB=5x$, тогава $4x+5x={180}^{\circ }$ от където намираме, че $x={20}^{\circ }$. Така за търсеният ъгъл получаваме $\mathrm{\angle }COA=4x=4\cdot {20}^{\circ }={80}^{\circ }$.

3 Задача: Ъглите $AOB$ и $BOC$ са съседни. Намерете градусните им мерки, ако разликата им е ${50}^{\circ }.$

Решение: Нека $\mathrm{\angle }AOB=\alpha$ и $\mathrm{\angle }BOC=\beta$. От факта, че двата ъгъла са съседни, според Теорема 1 имаме, че $\alpha +\beta ={180}^{\circ }.$ В условието на задачата, още ни е казано, че разликата на двата ъгъла е ${50}^{\circ }.$ Нека предположим, че $\alpha >\beta$, следователно $\alpha -\beta ={50}^{\circ }.$ Изразяваме $\alpha$ от последното равенство, от където $\alpha ={50}^{\circ }+\beta$. Сега заместваме $\alpha$ с ${50}^{\circ }+\beta$ в равенството $\alpha +\beta ={180}^{\circ }$ и така получаваме ${50}^{\circ }+\beta +\beta ={180}^{\circ }⟺2\beta ={130}^{\circ }$ и $\beta ={65}^{\circ }$, а $\alpha ={50}^{\circ }+{65}^{\circ }={115}^{\circ }.$

4 Задача: Лъчите $O{A}^{\to }$ и $O{B}^{\to }$ са противоположни. Като използвате означенията на чертежа и фактите, че $\alpha :\gamma :\delta =3:4:5$ и $\delta ={60}^{\circ }$ намерете $\beta$.

Решение: Нека $\alpha =3x$, $\gamma =4x$ и $\delta =5x$, следователно $5x={60}^{\circ }$ от където намираме, че $x={12}^{\circ }$. Така получаваме, че $\alpha =3\cdot {12}^{\circ }={36}^{\circ }$, $\gamma =4\cdot {12}^{\circ }={48}^{\circ }.$ Тъй като $\alpha +\beta +\gamma +\delta ={180}^{\circ }$ имаме уравнението ${36}^{\circ }+\beta +{48}^{\circ }+{60}^{\circ }={180}^{\circ }$ от където намираме, че $\beta ={180}^{\circ }-{36}^{\circ }-{48}^{\circ }-{60}^{\circ }={36}^{\circ }.$

Задачи за самостоятелна работа

1. На даденият чертеж $O{L}^{\to }$ е ъглополовяща на $\mathrm{\angle }AOC$. Ако мярката на $\mathrm{\angle }AOC$ е с 40% по-голяма от мярката на $\mathrm{\angle }BOC$, то намерете мярката на $\mathrm{\angle }BOL.$

2. Ако $\mathrm{\angle }AOB$ и $\mathrm{\angle }BOC$ са съседни ъгли и $\mathrm{\angle }AOB$ е с ${40}^{\circ }$ по-голям от $\mathrm{\angle }BOC$, то намерете градусните им мерки.

3. Намерете ъглите, образувани при пресичането на две прави, ако един от тези ъгли е равен на сбора от двата си съседни ъгъла.

4. Да се пресметнат големините на два съседни ъгъла, ако единият от тях е с 30% по-голям от другия.

5. Един ъгъл е 8 пъти по-голям от съседния си. Намерете мярката на ъгъла.

Видео уроци:

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +