Основни геометрични фигури 7 клас

Основните геометрични фигури в геометрията са точката, правата и равнината.

Определение 1: Ос ще наричаме права с избрана положителна посока върху нея.

Определение 2: Ако вземем една права и изберем точка $O$ от нея, тя ще разделя правата на две части, всяка от които ще наричаме лъч с начало точка $O$. Тези два лъча се наричат противоположни лъчи.

Определение 3: Всяка права $p$ от дадена равнина я разделя на две части, като всяка от тях се нарича полуравнина с контур правата $p$.

Определение 4: Част от права, ограничена с две точки, се нарича отсечка. Тези точки се наричат краища на отсечката, а точките който са между тях се наричат вътрешни точки за отсечката.

Определение 6: Дължина на отсечката ще наричаме положителното число, получено при измерването й с избрана мерна единица. Дължина на отсечка $AB$ ще бележим с $|AB|$ или само $AB$.

Определение 7: Разстоянието между две точки се определя от дължината на отсечката, определена от тях.

Определение 8: Две отсечки се наричат равни, ако са равни дължините им измерени с една и съща мерна единица.

Аксиома 1: Ако две равни отсечки се нанесат върху лъч, краищата им съвпадат.

Определение 9: Казваме, че отсечката $a$ е по-голяма (по-малка) от отсечката $b$, ако дължината на $a$ е по-голяма (по-малка) от дължината на $b$.

Определение 10: Ако точката $M$ е между точките $A$ и $B$ и $AM=BM$, то $M$ се нарича среда на отсечката $AB.$

Определение 11: Нека са дадени отсечките $a$ и $b$. Ако върху лъч с начало $O$ са нанесени точки $A$ и $B$ така, че $A$ е между $O$ и $B$, $OA=a$ и $AB=b$, казваме, че отсечката $OB=c$ е сбор на отсечките $a$ и $b$. Ако една отсечка е сбор от две или повече дадени отсечки, то дължината й е равна на сбора от дължините на дадените отсечки.

Определение 12: Разлика на две отсечки $a$ и $b$ $(a>b)$ се нарича такава отсечка $c$, чийто сбор с отсечката $b$ е равен на $a$. Записваме $c=a-b.$

Определение 13: Геометрична фигура, която се състои от два лъча с общо начало, се нарича ъгъл. Лъчите се наричат рамене на ъгъла, а общото им начало се нарича връх на ъгъла.

Определение 14: Ъгъл, раменете на който са противоположни лъчи, се нарича изправен ъгъл.
Ъглите обикновено означаваме с малки букви от гръцката азбука - $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ и т.е.

Ъгъл ще означаваме и още по следният начин $\sphericalangle BAC$ или $\sphericalangle CAB$. Също така за удобство можем да използваме и числа, например $\sphericalangle 1$, $\sphericalangle 2$ и т.н.

Определение 15: Мярка на ъгъл се нарича положителното число, получено при измерването на ъгъла с избрана мерна единица за ъгъл (например градус или радиан).

Определение 16: Мерни единици за измерване на ъгъл са един градус и неговите подразделения:

1) един градус: $1^{\circ}$ е $\frac{1}{180}$ от изправения ъгъл;

2) една минута: $1^{\prime}$ е $\frac{1}{60}$ от $1^{\circ}$;

3) една секунда: $1^{\prime\prime}$ е $\frac{1}{60}$ от $1^{\prime}$, което пък е $\frac{1}{3600}$ от $1^{\circ}$.

Ще казваме, че два ъгъла са равни, ако имат равни мерки при измерването им с една и съща мерна единица. 

Определение 17: От два ъгъла по-голям (по-малък) се нарича този, който има по-голяма (по-малка) мярка при измерване с една и съща мерна единица.

Определение 18: Ъглополовяща на даден ъгъл се нарича лъчът с начало върха на ъгъла, който разделя този ъгъл на два равни ъгъла. Ако ъглополовящата лежи върху права, тогава правата наричаме ъглополовяща на дадения ъгъл.

Отсечката $AD$ е ъглополовяща на $\sphericalangle BAC$, защото $\sphericalangle BAD=\sphericalangle CAD=\alpha.$ Тъй като $AD$ лежи на правата $h$ можем да кажем и, че $h$ е ъглополовяща на $\sphericalangle BAC.$

1 Задача Ако ъгъл $\alpha=27^{\circ}45^{\prime}$ и ъгъл $\beta=33^{\circ}28^{\prime}$, намерете $\alpha +\beta$.

Решение: Ще съберем отделно градусите и отделно минутите, така имаме, че $\alpha+\beta=60^{\circ}73^{\prime}.$ Сега тъй като $73^{\prime}=60^{\prime}+13^{\prime}=1^{\circ}+13^{\prime}$, записваме и окончателният отговор $\alpha+\beta=61^{\circ}13^{\prime}.$

2. Задача Ако ъгъл $\alpha=105^{\circ}25^{\prime}$ и ъгъл $\beta=35^{\circ}45^{\prime}$, намерете $\alpha-\beta$. 

Решение: Тъй като минутите в ъгъл $\alpha$ са по-малко от тези в ъгъл $\beta$ е необходимо в $\alpha$ да "вземем" един градус и да го превърнем в минути, т.е. $\alpha=105^{\circ}25^{\prime}=104^{\circ}65^{\prime}$. Сега вече изваждаме съответно градусите и минутите на $\alpha$ от тези на $\beta$ от където $\alpha-\beta=104^{\circ}65^{\prime}-35^{\circ}45^{\prime}=69^{\circ}25^{\prime}.$

3. Задача Лъчът $OC^{\rightarrow}$ е вътрешен за $\sphericalangle AOB$ и $\sphericalangle AOC=35^{\circ}$, а $\sphericalangle COB=80^{\circ}.$ На колко градуса е равен $\sphericalangle AOB$?

Решение:

От чертежа виждаме, че $\sphericalangle AOB=\sphericalangle AOC+\sphericalangle COB=\alpha+\beta=35^{\circ}+33^{\circ}=68^{\circ}.$

4. Задача Ъгъл с градусна мярка $120^{\circ}$ е разделен от свой вътрешен лъч на два ъгъла, градусните мерки на които се отнасят, както $2:3.$

Решение: Нека $\sphericalangle AOB=120^{\circ}$ и лъчът $OC^{\rightarrow}$ го разделя на ъгли $\sphericalangle AOC$ и $\sphericalangle BOC.$

От казаното следва, че $\sphericalangle AOC=\alpha=2x$ и $\sphericalangle BOC=\beta=3x.$ Следователно $\alpha+\beta=2x+3x=120^{\circ}$, от където $5x=120^{\circ}$ и $x=24^{\circ}$, така $\alpha=48^{\circ}$, а $\beta=72^{\circ}$.

5 Задача Лъчът $OC^{\rightarrow}$ е вътрешен за $\sphericalangle AOB$ и $\sphericalangle AOB=135^{\circ}$, а $\sphericalangle COB=70^{\circ}.$ На колко градуса е равен $\sphericalangle AOC$?

Решение:

Тъй като $\sphericalangle AOB=\sphericalangle AOC+\sphericalangle BOC$, можем да запишем, че $\alpha+\beta=x+75^{\circ}$. По условие $\sphericalangle AOB=135^{\circ}$, следователно $135^{\circ}=x+75^{\circ}$, от където $x=135^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$.

6 Задача Лъчите $OB^{\rightarrow}$ и $OC^{\rightarrow}$ са вътрешни за $\sphericalangle AOD$, като $OB^{\rightarrow}$ е ъглополовяща на $\sphericalangle AOC$. Ако $\sphericalangle AOB=\frac{5}{9}\sphericalangle BOD$ и $\sphericalangle AOD=140^{\circ}$, намерете $\sphericalangle BOC$.

Решение:

Нека $\sphericalangle AOB=\sphericalangle BOC=\alpha$, а $\sphericalangle COD=\beta$. Следователно $2\alpha+\beta=140^{\circ}$. От друга страна от това, че $\sphericalangle AOB=\frac{5}{9}\sphericalangle BOD \implies \alpha=\frac{5}{9}(\alpha+\beta)$ можем да кажем, че $9\alpha=5\alpha+5\beta\implies 4\alpha=5\beta$. Така намираме, че $\beta=\frac{4}{5}\alpha$. Сега заместваме $\beta$ с $\frac{4}{5}\alpha$ в равенството $2\alpha+\beta=140^{\circ}$ и получаваме, че $2\alpha+\frac{4}{5}\alpha=140^{\circ}\implies 14\alpha=700^{\circ}$ и $\alpha=50^{\circ}$ т.е. $\sphericalangle BOC=50^{\circ}$.

Задачи за самостоятелна работа

1. Ако ъгъл $\alpha=120^{\circ}43^{\prime}$ и ъгъл $\beta=31^{\circ}52^{\prime}$, то намерете $\alpha+\beta.$

2. Ако ъгъл $\alpha=56^{\circ}17^{\prime}$ и ъгъл $\beta=18^{\circ}44^{\prime}$, то намерете $\alpha-\beta.$

3. Лъчът $OC^{\rightarrow}$ е вътрешен за $\sphericalangle AOB=68^{\circ}.$ Намерете градусните мерки на $\sphericalangle AOC$, и $\sphericalangle BOC$, ако $\sphericalangle AOC$ е с $40^{\circ}$ по-малък от $\sphericalangle BOC$ 

4. Ъгъл с градусна мярка $150^{\circ}$ е разделен от свой вътрешен лъч на два ъгъла, градусните мерки на които се отнасят, както $6:9$. На колко градуса е равен всеки от ъглите?

Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +