Цели изрази 7 клас

Ще дадем дефиниции на някои от основните понятия, които ще поясним с конкретни примери.

Определение 1: Рационален израз, който няма променливи в знаменател, се нарича цял рационален израз.

Определение 2: Едночлен, ще наричаме цял рационален израз, който е произведение от букви и цифри. Едночлени са и също така всяко число, променлива или параметър.

Определение 3: Ще казваме, че един едночлен е в нормален вид, когато той е записан само с един числов множител, който стои на първо място и се нарича коефициент, а всяко произведение от еднакви букви е записано като степен.

Пример: Нека да разгледаме едночлена $3x.x.y.4.y.z$. Очевидно този едночлен не е в нормален вид, защото в записът му имаме два числови множителя $3$ и $4$, а също така, и произведения от еднакви букви, които не са записани като степен. Нормалният вида на едночлена ще бъде $3x.x.y.4.y.z=3.4.x.x.y.y.z=12x^2y^2z.$ Както се вижда $12x^2y^2z$ очевидно е в нормален вид, защото отговаря на всички условия от Определение 3 – има само един числов множител $12$, а произведенията от еднакви букви е записано като степен.

Нека споменем, че ако в едночлена имаме буквени множители, с които са означени параметри, те са от коефициента на едночлена.

Определение 4: Степен на едночлен се нарича сборът от степенните показатели на променливите в него.

Пример: Да разгледаме едночлена $21x^3y^2zt.$ За да пресметнем степента на този едночлен е необходимо да пресметнем сбора от степените на променливите $x$, $y$, $z$ и $t$, следователно степента на едночлена е $3+2+1+1=7.$

Определение 5: Едночлени, които имат едни и същи нормален вид или пък се различават само по коефициентите си, се наричат подобни.

Пример: Да разгледаме следната двойка едночлени $3x^2y^3$ и $3x^2y^2.$ От Определение 5 следва, че за да бъдат подобни двата едночлена трябва да имат един и същи нормален вид или да се различават по коефициентите си. В този случай виждаме, че двата едночлена нямат един и същи нормален вид, защото $x^2y^3\neq x^2y^2$ и следователно не са подобни. Ако обаче разгледаме двойката едночлени $3x^2y^3$ и $-10x^2y^3$ виждаме, че те са подобни, защото се различават единствено по коефициентите си.

Едночлени, можем да събираме и изваждаме само ако те са подобни. Тогава извършваме действията (събираме или изваждаме) с техните коефициенти, а буквите просто дописваме към полученият резултат.

Пример: Имаме едночлените $5x^2y$ и $2x^2y$, следователно $5x^2y+2x^2y=(5+2)x^2y=7x^2y$. Нека сега от $5x^2y$ извадим $2x^2y$, следователно $5x^2y-2x^2y=(5-2)x^2y=3x^2y$.

Нека сега да видим, как ще умножаваме и делим едночлени.

Пример: Разглеждаме едночлените $10x^3y^2z^4$ и $-3x^2y^5z^2$. Умножаваме ги и получаваме $(10x^3y^2z^4)\cdot(-3x^2y^5z^2)=10\cdot(-3)\cdot x^3\cdot x^2\cdot y^2\cdot y^5\cdot z^4\cdot z^2=-30x^5y^7z^6$. Можем да споменем, че когато умножаваме два или повече едночлена, тяхното произведение отново е едночлен.

Пример: Дадени са едночлените $24x^4y^3z$ и $6x^2y^2$. Делим $24x^4y^3z$ на $6x^2y^2$, следователно $\frac{24x^4y^3z}{6x^2y^2}=4x^2yz.$ Тук, разбира се, променливите $x$ и $y$ трябва да бъдат различни от $0$.

Нека отбележим, че при делението на два едночлена, не винаги полученото частно е едночлен. Например $\frac{5x^2y^3}{3xyz}=\frac{5xy^2}{z}$.

Пример: Нека извършим степенуването $(2x^2y^3)^4.$ От свойството на степенуване на произведение ($(a \cdot b)^n=a^n\cdot b^n)$ получаваме, че $(2x^2y^3)^4=2^4\cdot(x^2)^4\cdot(y^3)^4.$ Сега прилагаме свойството за степенуване на степен ($(a^n)^m=a^{n\cdot m}$) и получаваме $2^4\cdot(x^2)^4\cdot(y^3)^4=16x^8y^{12}$.

Определение 6: Цял рационален израз, който е сбор от едночлени, се нарича многочлен.

Пример: Изразите $3x^2-5x+6$, $xy+3$, $xyz+x^2y^3z+11xy-4$ и т.н. са примери за многочлени.

Определение 7: Казваме, че един многочлен е приведен в нормален вид, когато е представен като сбор от неподобни едночлени, всеки от които е в нормален вид.

Пример: Многочленът $x^4+3x^3-x^2+x-1$ е в нормален вид.

Определение 8: Коефициенти на многочлена ще наричаме коефициентите на участващите в него едночлени.

Определение 9: Най-високата от степените на едночлените, които участват в нормалния вид на многочлена се нарича степен на многочлена.

Пример: Степента на многочлена $x^4+3x^3-x^2+x-1$ е $4$, защото най-високата степен на едночлена участващ в нормалния вид на дадения многочлен ($x^4$) е $4$.

Събиране и изваждане на многочлени ще илюстрираме със следния пример:

Пример: Дадени са многочлените $A=3y^3+2y-3$ и $B=y^3-y-1$, следователно $$A+B=3y^3+2y-3+y^3-y-1=(3y^3+y^3)+(2y-y)+(-3-1)=4y^3+y-4.$$ Сега да намерим $A-B$. Изваждаме двата многочлена и получаваме $$A-B=3y^3+2y-3-(y^3-y-1)=3y^3+2y-3-y^3+y+1=(3y^3-y^3)+(2y+y)+(-3+1)=2y^3+3y-2.$$

Умножението на многочлен с едночлен ще илюстрираме със следният пример:

Пример: $3x^3\cdot(x^2-4x+2)=3x^3\cdot x^2+3x^3\cdot(-4x)+3x^2\cdot2=3x^5-12x^4+6x^2.$

Накрая ще дадем пример и на умножението на многочлен с многочлен:

Пример: $(x+3)(x^2-4x+2)=x\cdot x^2+x\cdot(-4x)+x\cdot2+3\cdot x^2+3\cdot(-4x)+3\cdot2=x^3-4x^2+2x+3x^2-12x+6.$ Сега привеждаме многочлена в нормален вид и получаваме $x^3-x^2-10x+6.$

1 Задача: Да се намери нормалният вид на многочлена $(y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3.$

Решение: Разкриваме скобите и извършваме действията с подобните едночлени, следователно $$(y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3 = x^3y^3 + 3y^4 + 3x^4 + 9xy - x^3y^3 = 3x^4 + 3y^4 + 9xy.$$

2 Задача: Пресметнете стойността на израза $4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x)$ при $x=1,01.$

Решение: Опростяваме дадения израз буквено и след това заместваме с $x=1,01$, така получаваме, че $$4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x) = 12x^3 + 32x^2 - 12x^3 - 32x^2 = 0.$$ Следователно стойността на израза е $0$ за всяко $x$, или с други думи – изразът не зависи от стойностите на $x.$

3 Задача: Приведете многочлена $A=4x-4a-x^3-3xa^2+a^3+3x^2a$ в нормален вид.

Решение: Привеждаме многочлена в нормален вид, като вземем под внимание, че $a$ е параметър, а не променлива. Подреждаме едночлените по степените на $x$ и получаваме: $$A=-x^3+3ax^2+4x-3a^2x+a^3-4a = -x^3+3ax^2+(4-3a^2)x+(a^2-4)a.$$

4 Задача: Даден е многочленът $A=3x^3-ax^2+ax+5x-2a+1.$
а) Приведете в нормален вид многочлена $A.$
б) За коя стойност на $a$ многочленът $A$ няма едночлен от първа степен?

Решение: а) Привеждаме многочлена в нормален вид, като вземем предвид, че $a$ е параметър, а не променлива, и подреждаме едночлените по степените на $x$, получаваме: $$A = 3x^3 - ax^2 + (a+5)x - 2a + 1.$$
б) За да нямаме едночлен от първа степен, коефициентът $(a+5)$ пред $x$ трябва да бъде равен на $0$, т.е. $a+5=0$, от където следва, че $a=-5$.

5 Задача: Намерете сборът на многочлените $u=6xy^2+5x+7y-3$ и $v=5y^2x-3x-5y+3$.

Решение: Търсим $$u+v=6xy^2+5x+7y-3+5xy^2-3x-5y+3=11xy^2+2x+2y.$$

6 Задача: Даден е изразът: $$A=(x-y)(x^3+xy-y)-(x^2-1)(x-y^2+2)+x(y+y^2).$$
а) Приведете $A$ в нормален вид.
б) Намерете стойността на $A$, ако $$x=\frac{(-2)^3\cdot(-27)^6}{9^9\cdot8}\quad\text{и}\quad \frac{3}{4}:\frac{9}{8}=y:\frac{1}{2}.$$

Решение, а): Разкриваме скобите в израза $A$, като приложим правилата за умножение на едночлен с многочлен и многочлен с многочлен:
$$A=x^3+x^2y-xy-x^2y-xy^2+y^2-(x^3-x^2y^2+2x^2-x+y^2-2)+xy+xy^2.$$ След извършване на съкращения и разкриване на скобите получаваме: $$A=x^3+y^2-x^3+x^2y^2-2x^2+x-y^2+2=x^2y^2-2x^2+x+2.$$

Решение, б): Нека първо пресметнем стойностите:
$$x=\frac{(-2)^3\cdot(-27)^6}{9^9\cdot8}=-\frac{2^3\cdot(3^3)^6}{(3^2)^9\cdot2^3}=-\frac{3^{18}}{3^{18}}=-1.$$ За $y$ имаме уравнението $$\frac{3}{4}:\frac{9}{8}=y:\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=2y\quad\implies\quad 2y=\frac{2}{3}\quad\text{и}\quad y=\frac{1}{3}.$$ След това пресмятаме $A$: $$A=(-1)^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2-2\cdot(-1)^2+(-1)+2=-\frac{8}{9}.$$

7 Задача: Докажете, че стойността на израза $$A=b(b-2x)+x(x+b)-bx$$ при $b=x+3$ не зависи от стойностите на $x$.

Решение: Разкриваме скобите: $$A=b^2-2bx+x^2+bx-bx \implies A=x^2-2bx+b^2.$$ Заместваме $b=x+3$: $$A=x^2-2x(x+3)+(x+3)^2=x^2-2x^2-6x+(x+3)^2.$$ Разкриваме $(x+3)^2$: $$A=x^2-2x^2-6x+x^2+6x+9=9.$$ Така независимо от стойността на $x$, $A=9$.

8 Задача: Дадени са изразите $$M=(x-a)^2-ax(x+1) \quad\text{и}\quad N=a(x^2+a).$$ За коя стойност на параметъра $a$ сборът от коефициентите на многочлена, равен на $M-N$, е $-9$?

Решение: Образуваме многочлена: $$M-N=(x-a)^2-ax(x+1)-a(x^2+a).$$ Разписваме: $$M-N=(x-a)(x-a)-ax^2-ax-a(x^2+a).$$ След опростяване получаваме: $$M-N=(1-2a)x^2-3ax.$$ Коефициентите са $(1-2a)$ пред $x^2$ и $-3a$ пред $x$. Техният сбор трябва да е $-9$: $$(1-2a)+(-3a)=-9\quad\Longrightarrow\quad 1-5a=-9\quad\Longrightarrow\quad -5a=-10\quad\implies\quad a=2.$$

9 Задача: За коя стойност на параметъра $b$ в нормалния вид на многочлена, равен на $$(x^2-3bx+b)(x^2-2x+3),$$ не съдържа член с $x^2$?

Решение: Нека $$A=(x^2-3bx+b)(x^2-2x+3).$$ Разкриваме скобите: $$A=x^4-2x^3+3x^2-3bx^3+6bx^2-9bx+bx^2-2bx+3b.$$ Групираме съответните членове: $$A=x^4+(-2-3b)x^3+(3+7b)x^2-11bx+3b.$$ За да не има член с $x^2$, коефициентът $(3+7b)$ трябва да е равен на $0$: $$3+7b=0\quad\Longrightarrow\quad b=-\frac{3}{7}.$$

Задачи за самостоятелна работа

1. Умножете едночлените:
а) $A=-4x^2y^3$ и $B=-3x^4y^2$;
б) $A=\frac{3}{4}ab^2c$ и $B=\frac{4}{3}a^2bc^3$;
в) $A=-\frac{1}{27}mn^2p^7$, $B=\frac{3}{2}m^5k^2p$ и $C=-\frac{1}{4}k^4p$.

2. Намерете степента и коефициента на едночлена:
а) $(1,5x^2y^3z^4)(4xyz^5)$;
б) $\left(\frac{7}{8}m^2k^3p^4\right)\left(\frac{1}{4}mkp^3\right)$;
в) $(1,5ax^2y^3z^6)(-2,5a^2xy^2z^3)$;
г) $\left(-\frac{1}{2}ak^4p^3m^2\right)\left(-\frac{1}{3}a^2bkp^2m^3\right)$.

3. Извършете степенуването на едночлените:
а) $(2x^2y^3z^4)^3$;
б) $\left(\frac{2}{3}ab^4c^5\right)^8$;
в) $(-bx^4y^5z^2)^{11}$;
г) $(-2n^2m^3p^5)^{2n}\quad (n\in\mathbb{N})$.

4. Ако $u=3abm^2x^3$, $v=-2a^2mxy$ и $w=a^3mxy$, то намерете $\frac{u\cdot v}{w}$.

5. Ако $A=(x^2-xy+2y^2)$ и $B=(2x-y)$, то намерете $A\cdot B$.

6. Да се докаже тъждеството $$(a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)-(a-d)(c-b)=0.$$

7. Намерете числената стойност на израза:
$$U=(2mn)^3+3mn^2\cdot2mn-5mn(mn)^2+2mn^2(-3mn)$$ за $m=-\frac{1}{2},\; n=\frac{1}{3}$.

8. Намерете стойността на израза $b(b-1)-b^2+2b$ при $b=-1$.

9. Намерете стойността на израза $2(3x-2)-x(7-x)$ при $x=-2^2$.

10. Да се запише с нормален многочлен изразът $(2y-1)(1-y)-(2-y^3)$.

11. Намерете стойността на израза $$A=6(x+5)-2(x-3)(4x-5)+5x(7x-8)-(-6x)^2$$ за $$x=\frac{27^{669}}{(-3)^{2008}}.$$

12. Представете изразите като многочлени в нормален вид:
а) $3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c)$;
б) $8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3)$;
в) $(4x^2+2xy+y^2)(2x-y)$.

13. Представете произведението $(2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1)$ с нормален многочлен. Намерете за коя стойност на параметъра $a$ коефициентът на члена от четвърта степен и свободният член са равни.

14. Ако $m$ е параметър, а $x$ е променлива, намерете стойността на $m$, за която многочленът $$A=mx^2+3mx^2-2x^3+3x^2-5mx+3m-4$$ има коефициент на члена от втора степен равен на $9$.

15. Да се намери нормалният вид на израза:
а) $(y-3)(y-1)-(y+1)(y+3)$;
б) $3x-2y(x+1)+x(2y-3)$;
в) $3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3$.

16. Нека е даден изразът $$A=b(y^2-2)-(b+3y)(2y-1),$$ където $b$ е параметър. Представете $A$ с нормален многочлен и намерете стойностите на $b$, за които многочленът:
а) е от първа степен;
б) има равни коефициенти пред $y^2$ и $y$;
в) при $y=1$ има стойност $0$.

17. След като се опрости изразът $$M=2(3a-4b)-5[(2a+b)-(a-2b)]-[3(a-b)-6(2a-b)],$$ намерете стойността на $M$, ако $a=0,1$ и $b=\frac{1}{13}$.

18. Да се опрости изразът $$P=(a^2+2a-1)(a^3-3a^2+a-1)-a(a^4-a^3-6a^2+4a)$$ и да се посочат поне две стойности на променливата $a$, за които $P>0$.

19. Да се намери стойността на израза $$K=(2-a-a^2)(a^2+3b)+(a^2+b)(a^2-3)+ab(3+2a)$$ при $a=-3$ и $b=\frac{1}{3}$.

20. Да се провери верността на равенството:
а) $x(x-3a)+a(a+x)=9$ за $x=a+3$;
б) $x(x-8a)+a(5x+3)=2$ за $x=3a-1$.

21. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза $$(a^2-3ab-b^2)(5a^2+ab-3b^2)-(a^2-3ab+3b^2)(5a^2+ab+b^2).$$

Тест: Многочлени и едночлени – Практически задачи

1. Кой от едночлените е в нормален вид?

$3a^2ab$ $ab3a^2$ $3a^3b$ $a^2 \cdot 3ab$

2. Кой от следните едночлени има степен 5?

$2x^2y$ $x^3yz$ $3x^2z^2$ $x^4 + y$

3. Коефициентът на едночлена $-4a^2b \cdot 3ab^2$ е:

$-12$ $-7ab$ $-12a^3b^3$ $4a^3b^3$

4. Приведете израза: $\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{8}x^2$

$\frac{3}{8}x^2$ $\frac{1}{2}x^2$ $x^2$ $\frac{5}{8}x^2$

5. Резултатът от $\frac{2}{3}x^3 \cdot \Bigl(-\frac{3}{4}x^2\Bigr)$ е:

$\frac{2}{3}x^5$ $-\frac{3}{4}x^5$ $-\frac{1}{2}x^5$ $-\frac{6}{12}x^6$

6. Стойността на $2x^2y$ при $x = 3$, $y = 0.5$ е:

$9$ $27$ $12$ $3$

7. Произведението $(a + b)(a - b)$ е:

$a^2 + b^2$ $a^2 - b^2$ $a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)^2$

8. Нормалният вид на израза $(x^2 + 3x) + (2x^2 - x)$ е:

$x^2 + 4x$ $2x^2 + x$ $x^2 + 2x$ $3x^2 + 2x$

9. Степента на многочлена $x(x + 1)(x - 2)$ е:

първа втора трета няма такава

10. Стойността на многочлена $x^2 - 4x + 4$ при $x = -1$ е:

$9$ $1$ $7$ $5$

11. Нормалният вид на $3a(2a + 4b) - 2a(3a - b)$ е:

$10ab$ $14ab$ $6a^2 + 12ab - 6a^2 - 2ab$ $14a^2b$

12. Стойността на израза $(a^2 - b^2)(a + b)$ е:

$a^3 + b^3$ $a^2 + b^2$ $a^2 - b^2 + ab$ $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$

13. Степенуването $(x - 1)^2$ дава:

$x^2 + 1$ $x^2 - 1$ $x^2 - 2x + 1$ $x^2 - 2x - 1$

14. Ако $x = 4$, $y = -1$, то $x^2 + 2xy + y^2$ е:

$9$ $25$ $1$ $-9$

15. Ако $M = (x - y)^2$, при $x = 5$, $y = 3$, то $M$ е:

$0$ $4$ $2$ $8$

Видео уроци

Още обяснени и решени задачи от раздел "Цели изрази" можете да намерите във видеата ми по-долу:

Допълнителни видеа с множество подробно решени задачи (всяко видео е с времетраене над 40 минути) от материала за "Цели изрази", които са част от онлайн дистанционният курс "Успешни в час по математика", може да намерите както следва:

1. Едночлен, нормален вид на едночлен, подобни едночлени, събиране и изваждане на подобни едночлени - линк

2. Умножение, деление и степенуване на едночлени - линк

3. Многочлен. Нормален вид на многочлен. Събиране и изваждане на многочлени - линк

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:

Тест за едночлени

За да проверите знанията си върху темата "Многочлени, действия с многочлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:

Тест за многочлени

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +