Цели изрази 7 клас

Цели изрази – дефиниции и задачи

Ще дадем дефиниции на някои от основните понятия, които ще поясним с конкретни примери.

Определение 1: Рационален израз, който няма променливи в знаменател, се нарича цял рационален израз.

Определение 2: Едночлен, ще наричаме цял рационален израз, който е произведение от букви и цифри. Едночлени са и също така всяко число, променлива или параметър.

Определение 3: Ще казваме, че един едночлен е в нормален вид, когато той е записан само с един числов множител, който стои на първо място и се нарича коефициент, а всяко произведение от еднакви букви е записано като степен.

Пример: Нека да разгледаме едночлена 3x.x.y.4.y.z. Очевидно този едночлен не е в нормален вид, защото в записът му имаме два числови множителя 3 и 4, а също така, и произведения от еднакви букви, които не са записани като степен. Нормалният вида на едночлена ще бъде 3x.x.y.4.y.z=3.4.x.x.y.y.z=12x^2y^2z. Както се вижда 12x^2y^2z очевидно е в нормален вид, защото отговаря на всички условия от Определение 3 – има само един числов множител 12, а произведенията от еднакви букви е записано като степен.

Нека споменем, че ако в едночлена имаме буквени множители, с които са означени параметри, те са от коефициента на едночлена.

Определение 4: Степен на едночлен се нарича сборът от степенните показатели на променливите в него.

Пример: Да разгледаме едночлена 21x^3y^2zt. За да пресметнем степента на този едночлен е необходимо да пресметнем сбора от степените на променливите x, y, z и t, следователно степента на едночлена е 3+2+1+1=7.

Определение 5: Едночлени, които имат едни и същи нормален вид или пък се различават само по коефициентите си, се наричат подобни.

Пример: Да разгледаме следната двойка едночлени 3x^2y^3 и 3x^2y^2. От Определение 5 следва, че за да бъдат подобни двата едночлена трябва да имат един и същи нормален вид или да се различават по коефициентите си. В този случай виждаме, че двата едночлена нямат един и същи нормален вид, защото x^2y^3\neq x^2y^2 и следователно не са подобни. Ако обаче разгледаме двойката едночлени 3x^2y^3 и -10x^2y^3 виждаме, че те са подобни, защото се различават единствено по коефициентите си.

Едночлени, можем да събираме и изваждаме само ако те са подобни. Тогава извършваме действията (събираме или изваждаме) с техните коефициенти, а буквите просто дописваме към полученият резултат.

Пример: Имаме едночлените 5x^2y и 2x^2y, следователно 5x^2y+2x^2y=(5+2)x^2y=7x^2y. Нека сега от 5x^2y извадим 2x^2y, следователно 5x^2y-2x^2y=(5-2)x^2y=3x^2y.

Нека сега да видим, как ще умножаваме и делим едночлени.

Пример: Разглеждаме едночлените 10x^3y^2z^4 и -3x^2y^5z^2. Умножаваме ги и получаваме (10x^3y^2z^4)\cdot(-3x^2y^5z^2)=10\cdot(-3)\cdot x^3\cdot x^2\cdot y^2\cdot y^5\cdot z^4\cdot z^2=-30x^5y^7z^6. Можем да споменем, че когато умножаваме два или повече едночлена, тяхното произведение отново е едночлен.

Пример: Дадени са едночлените 24x^4y^3z и 6x^2y^2. Делим 24x^4y^3z на 6x^2y^2, следователно \frac{24x^4y^3z}{6x^2y^2}=4x^2yz. Тук, разбира се, променливите x и y трябва да бъдат различни от 0.

Нека отбележим, че при делението на два едночлена, не винаги полученото частно е едночлен. Например \frac{5x^2y^3}{3xyz}=\frac{5xy^2}{z}.

Пример: Нека извършим степенуването (2x^2y^3)^4. От свойството на степенуване на произведение ((a \cdot b)^n=a^n\cdot b^n) получаваме, че (2x^2y^3)^4=2^4\cdot(x^2)^4\cdot(y^3)^4. Сега прилагаме свойството за степенуване на степен ((a^n)^m=a^{n\cdot m}) и получаваме 2^4\cdot(x^2)^4\cdot(y^3)^4=16x^8y^{12}.

Определение 6: Цял рационален израз, който е сбор от едночлени, се нарича многочлен.

Пример: Изразите 3x^2-5x+6, xy+3, xyz+x^2y^3z+11xy-4 и т.н. са примери за многочлени.

Определение 7: Казваме, че един многочлен е приведен в нормален вид, когато е представен като сбор от неподобни едночлени, всеки от които е в нормален вид.

Пример: Многочленът x^4+3x^3-x^2+x-1 е в нормален вид.

Определение 8: Коефициенти на многочлена ще наричаме коефициентите на участващите в него едночлени.

Определение 9: Най-високата от степените на едночлените, които участват в нормалния вид на многочлена се нарича степен на многочлена.

Пример: Степента на многочлена x^4+3x^3-x^2+x-1 е 4, защото най-високата степен на едночлена участващ в нормалния вид на дадения многочлен (x^4) е 4.

Събиране и изваждане на многочлени ще илюстрираме със следния пример:

Пример: Дадени са многочлените A=3y^3+2y-3 и B=y^3-y-1, следователно A+B=3y3+2y3+y3y1=(3y3+y3)+(2yy)+(31)=4y3+y4. Сега да намерим A-B. Изваждаме двата многочлена и получаваме AB=3y3+2y3(y3y1)=3y3+2y3y3+y+1=(3y3y3)+(2y+y)+(3+1)=2y3+3y2.

Умножението на многочлен с едночлен ще илюстрираме със следният пример:

Пример: 3x^3\cdot(x^2-4x+2)=3x^3\cdot x^2+3x^3\cdot(-4x)+3x^2\cdot2=3x^5-12x^4+6x^2.

Накрая ще дадем пример и на умножението на многочлен с многочлен:

Пример: (x+3)(x^2-4x+2)=x\cdot x^2+x\cdot(-4x)+x\cdot2+3\cdot x^2+3\cdot(-4x)+3\cdot2=x^3-4x^2+2x+3x^2-12x+6. Сега привеждаме многочлена в нормален вид и получаваме x^3-x^2-10x+6.

Цели изрази – Задачи 1-4

1 Задача: Да се намери нормалният вид на многочлена (y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3.

Решение: Разкриваме скобите и извършваме действията с подобните едночлени, следователно (y3+3x)(x3+3y)x3y3=x3y3+3y4+3x4+9xyx3y3=3x4+3y4+9xy.

2 Задача: Пресметнете стойността на израза 4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x) при x=1,01.

Решение: Опростяваме дадения израз буквено и след това заместваме с x=1,01, така получаваме, че 4x2(3x+8)2x(6x2+16x)=12x3+32x212x332x2=0. Следователно стойността на израза е 0 за всяко x, или с други думи – изразът не зависи от стойностите на x.

3 Задача: Приведете многочлена A=4x-4a-x^3-3xa^2+a^3+3x^2a в нормален вид.

Решение: Привеждаме многочлена в нормален вид, като вземем под внимание, че a е параметър, а не променлива. Подреждаме едночлените по степените на x и получаваме: A=x3+3ax2+4x3a2x+a34a=x3+3ax2+(43a2)x+(a24)a.

4 Задача: Даден е многочленът A=3x^3-ax^2+ax+5x-2a+1.
а) Приведете в нормален вид многочлена A.
б) За коя стойност на a многочленът A няма едночлен от първа степен?

Решение: а) Привеждаме многочлена в нормален вид, като вземем предвид, че a е параметър, а не променлива, и подреждаме едночлените по степените на x, получаваме: A=3x3ax2+(a+5)x2a+1.
б) За да нямаме едночлен от първа степен, коефициентът (a+5) пред x трябва да бъде равен на 0, т.е. a+5=0, от където следва, че a=-5.

Цели изрази – Задачи и примери

5 Задача: Намерете сборът на многочлените u=6xy^2+5x+7y-3 и v=5y^2x-3x-5y+3.

Решение: Търсим u+v=6xy2+5x+7y3+5xy23x5y+3=11xy2+2x+2y.

6 Задача: Даден е изразът: A=(xy)(x3+xyy)(x21)(xy2+2)+x(y+y2).
а) Приведете A в нормален вид.
б) Намерете стойността на A, ако x=(2)3(27)6998и34:98=y:12.

Решение, а): Разкриваме скобите в израза A, като приложим правилата за умножение на едночлен с многочлен и многочлен с многочлен:
A=x3+x2yxyx2yxy2+y2(x3x2y2+2x2x+y22)+xy+xy2. След извършване на съкращения и разкриване на скобите получаваме: A=x3+y2x3+x2y22x2+xy2+2=x2y22x2+x+2.

Решение, б): Нека първо пресметнем стойностите:
x=(2)3(27)6998=23(33)6(32)923=318318=1. За y имаме уравнението 34:98=y:123489=2y2y=23иy=13. След това пресмятаме A: A=(1)2(13)22(1)2+(1)+2=89.

7 Задача: Докажете, че стойността на израза A=b(b2x)+x(x+b)bx при b=x+3 не зависи от стойностите на x.

Решение: Разкриваме скобите: A=b22bx+x2+bxbxA=x22bx+b2. Заместваме b=x+3: A=x22x(x+3)+(x+3)2=x22x26x+(x+3)2. Разкриваме (x+3)^2: A=x22x26x+x2+6x+9=9. Така независимо от стойността на x, A=9.

8 Задача: Дадени са изразите M=(xa)2ax(x+1)иN=a(x2+a). За коя стойност на параметъра a сборът от коефициентите на многочлена, равен на M-N, е -9?

Решение: Образуваме многочлена: MN=(xa)2ax(x+1)a(x2+a). Разписваме: MN=(xa)(xa)ax2axa(x2+a). След опростяване получаваме: MN=(12a)x23ax. Коефициентите са (1-2a) пред x^2 и -3a пред x. Техният сбор трябва да е -9: (12a)+(3a)=915a=95a=10a=2.

9 Задача: За коя стойност на параметъра b в нормалния вид на многочлена, равен на (x23bx+b)(x22x+3), не съдържа член с x^2?

Решение: Нека A=(x23bx+b)(x22x+3). Разкриваме скобите: A=x42x3+3x23bx3+6bx29bx+bx22bx+3b. Групираме съответните членове: A=x4+(23b)x3+(3+7b)x211bx+3b. За да не има член с x^2, коефициентът (3+7b) трябва да е равен на 0: 3+7b=0b=37.

Задачи за самостоятелна работа

1. Умножете едночлените:
а) A=-4x^2y^3 и B=-3x^4y^2;
б) A=\frac{3}{4}ab^2c и B=\frac{4}{3}a^2bc^3;
в) A=-\frac{1}{27}mn^2p^7, B=\frac{3}{2}m^5k^2p и C=-\frac{1}{4}k^4p.

2. Намерете степента и коефициента на едночлена:
а) (1,5x^2y^3z^4)(4xyz^5);
б) \left(\frac{7}{8}m^2k^3p^4\right)\left(\frac{1}{4}mkp^3\right);
в) (1,5ax^2y^3z^6)(-2,5a^2xy^2z^3);
г) \left(-\frac{1}{2}ak^4p^3m^2\right)\left(-\frac{1}{3}a^2bkp^2m^3\right).

3. Извършете степенуването на едночлените:
а) (2x^2y^3z^4)^3;
б) \left(\frac{2}{3}ab^4c^5\right)^8;
в) (-bx^4y^5z^2)^{11};
г) (-2n^2m^3p^5)^{2n}\quad (n\in\mathbb{N}).

4. Ако u=3abm^2x^3, v=-2a^2mxy и w=a^3mxy, то намерете \frac{u\cdot v}{w}.

5. Ако A=(x^2-xy+2y^2) и B=(2x-y), то намерете A\cdot B.

6. Да се докаже тъждеството (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(ad)(cb)=0.

7. Намерете числената стойност на израза:
U=(2mn)3+3mn22mn5mn(mn)2+2mn2(3mn) за m=-\frac{1}{2},\; n=\frac{1}{3}.

8. Намерете стойността на израза b(b-1)-b^2+2b при b=-1.

9. Намерете стойността на израза 2(3x-2)-x(7-x) при x=-2^2.

10. Да се запише с нормален многочлен изразът (2y-1)(1-y)-(2-y^3).

11. Намерете стойността на израза A=6(x+5)2(x3)(4x5)+5x(7x8)(6x)2 за x=27669(3)2008.

12. Представете изразите като многочлени в нормален вид:
а) 3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c);
б) 8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3);
в) (4x^2+2xy+y^2)(2x-y).

13. Представете произведението (2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1) с нормален многочлен. Намерете за коя стойност на параметъра a коефициентът на члена от четвърта степен и свободният член са равни.

14. Ако m е параметър, а x е променлива, намерете стойността на m, за която многочленът A=mx2+3mx22x3+3x25mx+3m4 има коефициент на члена от втора степен равен на 9.

15. Да се намери нормалният вид на израза:
а) (y-3)(y-1)-(y+1)(y+3);
б) 3x-2y(x+1)+x(2y-3);
в) 3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3.

16. Нека е даден изразът A=b(y22)(b+3y)(2y1), където b е параметър. Представете A с нормален многочлен и намерете стойностите на b, за които многочленът:
а) е от първа степен;
б) има равни коефициенти пред y^2 и y;
в) при y=1 има стойност 0.

17. След като се опрости изразът M=2(3a4b)5[(2a+b)(a2b)][3(ab)6(2ab)], намерете стойността на M, ако a=0,1 и b=\frac{1}{13}.

18. Да се опрости изразът P=(a2+2a1)(a33a2+a1)a(a4a36a2+4a) и да се посочат поне две стойности на променливата a, за които P>0.

19. Да се намери стойността на израза K=(2aa2)(a2+3b)+(a2+b)(a23)+ab(3+2a) при a=-3 и b=\frac{1}{3}.

20. Да се провери верността на равенството:
а) x(x-3a)+a(a+x)=9 за x=a+3;
б) x(x-8a)+a(5x+3)=2 за x=3a-1.

21. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза (a23abb2)(5a2+ab3b2)(a23ab+3b2)(5a2+ab+b2).

Тест: Многочлени и едночлени – Практически задачи

Тест: Многочлени и едночлени – Практически задачи

1. Кой от едночлените е в нормален вид?

2. Кой от следните едночлени има степен 5?

3. Коефициентът на едночлена -4a^2b \cdot 3ab^2 е:

4. Приведете израза: \frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{8}x^2

5. Резултатът от \frac{2}{3}x^3 \cdot \Bigl(-\frac{3}{4}x^2\Bigr) е:

6. Стойността на 2x^2y при x = 3, y = 0.5 е:

7. Произведението (a + b)(a - b) е:

8. Нормалният вид на израза (x^2 + 3x) + (2x^2 - x) е:

9. Степента на многочлена x(x + 1)(x - 2) е:

10. Стойността на многочлена x^2 - 4x + 4 при x = -1 е:

11. Нормалният вид на 3a(2a + 4b) - 2a(3a - b) е:

12. Стойността на израза (a^2 - b^2)(a + b) е:

13. Степенуването (x - 1)^2 дава:

14. Ако x = 4, y = -1, то x^2 + 2xy + y^2 е:

15. Ако M = (x - y)^2, при x = 5, y = 3, то M е:

Видео уроци

Още обяснени и решени задачи от раздел "Цели изрази" можете да намерите във видеата ми по-долу:

Допълнителни видеа с множество подробно решени задачи (всяко видео е с времетраене над 40 минути) от материала за "Цели изрази", които са част от онлайн дистанционният курс "Успешни в час по математика", може да намерите както следва:

1. Едночлен, нормален вид на едночлен, подобни едночлени, събиране и изваждане на подобни едночлени - линк

2. Умножение, деление и степенуване на едночлени - линк

3. Многочлен. Нормален вид на многочлен. Събиране и изваждане на многочлени - линк

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:

Тест за едночлени

За да проверите знанията си върху темата "Многочлени, действия с многочлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:

Тест за многочлени

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +

Коментари

Популярни публикации от този блог

Триъгълник. Сбор на ъгли в триъгълник. Външен ъгъл на триъгълник 7 клас

Ъгли получени при пресичането на две прави с трета. Теореми признаци, за успоредност на две прави 7 клас

Множества. Основни понятия - обединение, сечение, разлика и допълнение на множества