Цели изрази 7 клас
Ще дадем дефиниции на някои от основните понятия, които ще поясним с конкретни примери.
Определение 1: Рационален израз, който няма променливи в знаменател, се нарича цял рационален израз.
Определение 2: Едночлен, ще наричаме цял рационален израз, който е произведение от букви и цифри. Едночлени са и също така и всяко число, променлива или параметър.
Определение 3: Ще казваме, че един едночлен е в нормален вид, когато той е записан само с един числов множител, който стои на първо място и се нарича коефициент, а всяко произведение от еднакви букви е записано като степен.
Пример: Нека да разгледаме едночлена 3x.x.y.4.y.z. Очевидно този едночлен не е в нормален вид, защото в записът му имаме два числови множителя 3 и 4, а също така, и произведения от еднакви букви, които не са записани като степен. Нормалният вида на едночлена ще бъде 3x.x.y.4.y.z=3.4.x.x.y.y.z=12x^2y^2z. Както се вижда 12x^2y^2z очевидно е в нормален вид, защото отговаря на всички условия от Определение 3 - има само един числов множител 12, а произведенията от еднакви букви е записано като степен.
Нека споменем, че ако в едночлена имаме буквени множители, с които са означени параметри, те са от коефициента на едночлена.
Определение 4: Степен на едночлен се нарича сборът от степенните показатели на променливите в него.
Пример: Да разгледаме едночлена 21x^3y^2zt. За да пресметнем степента на този едночлен е необходимо да пресметнем сбора от степените на променливите x, y, z и t, следователно степента на едночлена е 3+2+1+1=7.
Определение 5: Едночлени, които имат едни и същи нормален вид или пък се различават само по коефициентите си, се наричат подобни.
Пример: Да разгледаме следната двойка едночлени 3x^2y^3 и 3x^2y^2. От Определение 5 следва, че за да бъдат подобни двата едночлена трябва да имат един и същи нормален вид или да се различават по коефициентите си. В този случай виждаме, че двата едночлена нямат един и същи нормален вид, защото x^2y^3\neq x^2y^2 и следователно не са подобни. Ако обаче разгледаме двойката едночлени 3x^2y^3 и -10x^2y^3 виждаме, че те са подобни, защото се различават единствено по коефициентите си.
Едночлени, можем да събираме и изваждаме само ако те са подобни. Тогава извършваме действията (събираме или изваждаме) с техните коефициенти, а буквите просто дописваме към полученият резултат.
Пример: Имаме едночлените 5x^2y и 2x^2y, следователно 5x^2y+2x^2y=(5+2)x^2y=7x^2y. Нека сега от 5x^2y извадим 2x^2y, следователно 5x^2y-2x^2y=(5-2)x^2y=3x^2y.
Нека сега да видим, как ще умножаваме и делим едночлени.
Пример: Разглеждаме едночлените 10x^3y^2z^4 и -3x^2y^5z^2. Умножаваме ги и получаваме (10x^3y^2z^4).(-3x^2y^5z^2)=10.(-3).x^3.x^2.y^2.y^5.z^4.z^2=-30x^5y^7z^6.
Можем да споменем, че когато умножаваме два или повече едночлена, тяхното произведение отново е едночлен.
Пример: Дадени са едночлените 24x^4y^3z и 6x^2y^2. Делим 24x^4y^3z на 6x^2y^2, следователно \frac{24x^4y^3z}{6x^2y^2}=4x^2yz. Тук разбира се променливите x и y трябва да бъдат различни от 0.
Нека отбележим, че при делението на два едночлена, не винаги полученото частно е едночлен. Например \frac{5x^2y^3}{3xyz}=\frac{5xy^2}{z}.
Нека отбележим, че при делението на два едночлена, не винаги полученото частно е едночлен. Например \frac{5x^2y^3}{3xyz}=\frac{5xy^2}{z}.
Пример: Нека извършим степенуването (2x^2y^3)^4. От свойството на степенуване на произведение ((a.b)^n=a^nb^n) получаваме, че (2x^2y^3)^4=2^4(x^2)^4(y^3)^4. Сега прилагаме свойството за степенуване на степен ((a^n)^m=a^{n.m}) и получаваме 2^4(x^2)^4(y^3)^4=16x^8y^{12}.
Определение 6: Цял рационален израз, който е сбор от едночлени, се нарича многочлен.
Пример: Изразите 3x^2-5x+6, xy+3, xyz+x^2y^3z+11xy-4 и т.н. са примери за многочлени.
Определение 7: Казваме, че един многочлен е приведен в нормален видя, когато е представен като сбор от неподобни едночлени, всеки от който е в нормален вид.
Пример: Многочленът x^4+3x^3-x^2+x-1 е в нормален вид.
Определение 8: Коефициенти на многочлена ще наричаме коефициентите на участващите в него едночлени.
Определение 9: Най-високата от степените на едночлените, които участват в нормалният вид на многочлена се нарича степен на многочлена.
Пример: Степента на многочлена x^4+3x^3-x^2+x-1 е 4, защото най-високата степен на едночлена участващ в нормалния вид на дадения многочлен (x^4) е 4.
Събиране и изваждане на многочлени ще илюстрираме със следния пример:
Пример: Дадени са многочлените A=3y^3+2y-3 и y^3-y-1, следователно A+B=3y^3+2y-3+y^3-y-1=(3y^3+y^3)+(2y-y)+(-3-1)=4y^3+y-4. Сега да намерим A-B. Изваждаме двата многочлена и получаваме A-B=3y^3+2y-3-(y^3-y-1)=3y^3+2y-3-y^3+y+1=(3y^3-y^3)+(2y+y)+(-3+1)=2y^3+3y-2.
Умножението на многочлен с едночлен ще илюстрираме със следният пример:
Пример: 3x^3.(x^2-4x+2)=3x^3.x^2+3x^3.(-4x)+3x^2.2=3x^5-12x^4+6x^2.
Накрая ще дадем пример и на умножението на многочлен с многочлен:
Пример: (x+3)(x^2-4x+2)=x.x^2+x.(-4x)+x.2+3.x^2+3.(-4x)+3.2=x^3-4x^2+2x+3x^2-12x+6. Сега привеждаме многочлена в нормален вид и получаваме x^3-x^2-10x+6.
1 Задача Да се намери нормалният вид на многочлена (y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3.
Решение: Разкриваме скобите и извършваме действията с подобните едночлени, следователно (y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3=x^3y^3+3y^4+3x^4+9xy-x^3y^3=3x^4+3y^4+9xy.
2 Задача Пресметнете стойността на израза 4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x) при x=1,01.
Решение: Опростяваме даденият израз буквено и след това заместваме с x=1,01, така получаваме, че 4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x)=12x^3+32x^2-12x^3-32x^2=0. Следователно стойността на даденият израз е 0 за всяко x или още казано с други думи, стойността на израза не зависи от стойностите на x.
3 Задача Приведете многочлена A=4x-4a-x^3-3xa^2+a^3+3x^2a в нормален вид
Решение: Привеждаме многочленът в нормален вид, като вземем под внимание, че a е параметър, а не променлива, следователно подреждаме едночлените по степените на x и получаваме A=-x^3+3ax^2+4x-3a^2x+a^3-4a=-x^3+3ax^2+(4-3a^2)x+(a^2-4)a.
4 Задача Даден е многочленът A=3x^3-ax^2+ax+5x-2a+1.
а) Приведете в нормален вид многочлена A.
б) За коя стойност на a многочленът A няма едночлен от първа степен?
Решение: а) Привеждаме многочленът в нормален вид, като вземем под внимание, че a е параметър, а не променлива, следователно подреждаме едночлените по степените на x и получаваме A=3x^3-ax^2+(a+5)x-2a+1.
б) За да нямаме едночлен от първа степен, коефициентът (a+5) пред x трябва да бъде равен на 0, т.е. a+5=0, от където получаваме, че a=-5.
5 Задача Намерете сборът на многочлените u=6xy^2+5x+7y-3 и v=5y^2x-3x-5y+3.
Решение: Търсим u+v=6xy^2+5x+7y-3+5xy^2-3x-5y+3=11xy^2+2x+2y.
6 Задача Даден е изразът:
A=(x-y)(x^3+xy-y)-(x^2-1)(x-y^2+2)+x(y+y^2).
а) Приведете A в нормален вид.
б) Намерете стойността на A, ако x=\frac{(-2)^3.(-27)^6}{9^9.8} и \frac{3}{4}:\frac{9}{8}=y:\frac{1}{2}.
Решение: а) Разкриваме скобите в изразът A, като приложим правилата за умножение на едночлен с многочлен и многочлен с многочлен. Така получаваме:
A=x^3+x^2y-xy-x^2y-xy^2+y^2--(x^3-x^2y^2+2x^2-x+y^2-2)+xy+xy^2. Извършваме съкращения, където е възможно и разкриваме скобите:
A=x^3+y^2-x^3+x^2y^2-2x^2+x-y^2+2=x^2y^2-2x^2+x+2.
б) Нека първо да пресметнем стойностите на x и y. Имаме, че x=\frac{(-2)^3.(-27)^6}{9^9.8}=-\frac{2^3.(3^3)^6}{(3^2)^9.2^3}=-\frac{3^{18}}{3^{18}}=-1. За y имаме, че \frac{3}{4}:\frac{9}{8}=y:\frac{1}{2} следователно \frac{3}{4}.\frac{8}{9}=2y\implies 2y=\frac{2}{3} и y=\frac{1}{2}. Сега пресмятаме стойността на A за така намерените x и y:
A=(-1)^2.(\frac{1}{3})^2-2.(-1)^2+(-1)+2=-\frac{8}{9}.
7 Задача Докажете, че стойността на израза A=b(b-2x)+x(x+b)-bx при b=x+3 не зависи от стойностите на x.
Решение: Първо ще разкрием скобите и ще извършим привидения:
A=b^2-2bx+x^2+bx-bx \implies A=x^2-2bx+b^2. Сега заместваме в последното равенство b=x+3 и получаваме, че:
A=x^2-2x(x+3)+(x+3)^2
A=x^2-2x^2-6x+(x+3)(x+3)
A=-x^2-6x+x^2+3x+3x+9 и A=9.
Следователно, каквато и стойност да приема x даденият израз винаги ще бъде равен на константата 9, т.е. изразът не зависи от стойностите на променливата.
8 Задача Дадени са изразите M=(x-a)^2-ax(x+1) и N=a(x^2+a). За коя стойност на параметъра a сборът от коефициентите на многочлена, равен на M-N, е -9?
Решение: Нека образуваме многочлена M-N, следователно имаме, че:
M-N=(x-a)^2-ax(x+1)-a(x^2+a)
M-N=(x-a)(x-a)-ax^2-ax-ax^2-a^2
M-N=x^2-ax-ax+a^2-2ax^2-ax-a^2
M-N=1.x^2-2ax^2-3ax.
Сега след като изнесем x^2 пред скоби от първите два едночлена получаваме:
M-N=(1-2a)x^2-3ax.
Коефициентите на многочлена M-N са съответно пред x^2 (1-2a) и пред x (-3a). От условието искаме техният сбор (1-2a)+(-3a) да бъде равен на -9. Така получаваме линейното уравнение относно параметъра a:
1-2a-3a=-9\iff -5a=-10\implies a=2.
Сега след като изнесем x^2 пред скоби от първите два едночлена получаваме:
M-N=(1-2a)x^2-3ax.
Коефициентите на многочлена M-N са съответно пред x^2 (1-2a) и пред x (-3a). От условието искаме техният сбор (1-2a)+(-3a) да бъде равен на -9. Така получаваме линейното уравнение относно параметъра a:
1-2a-3a=-9\iff -5a=-10\implies a=2.
9 Задача За коя стойност на параметъра b в нормалния вид на многочлена, равен на (x^2-3bx+b)(x^2-2x+3), не съдържа x^2?
Решение: Нека A=(x^2-3bx+b)(x^2-2x+3), разкриваме скобите и получавме:
A=x^4-2x^3+3x^2-3bx^3+6bx^2-9bx+bx^2-2bx+3b
A=x^4-2x^3-3bx^3+3x^2+7bx^2-11bx+3b
A=x^4-2x^3-3bx^3+3x^2+7bx^2-11bx+3b
A=x^4+(-2-3b)x^3+(3+7b)x^2-11bx+3b.
Сега за да не съдържа A едночлен с x^2 е небходима коефициентът пред едночлена (3+7b)x^2 да бъде равен на нула. Така достигаме до линейното уравнение относно параметъра b, което е 3+7b=0 и от тук намираме, че b=-\frac{3}{7}.
Задачи за самостоятелна работа
1. Умножете едночлените:
а) A=-4x^2y^3 и B=-3x^4y^2; б) A=\frac{3}{4}ab^2c и B=\frac{4}{3}a^2bc^3;
а) A=-4x^2y^3 и B=-3x^4y^2; б) A=\frac{3}{4}ab^2c и B=\frac{4}{3}a^2bc^3;
в) A=-\frac{1}{27}mn^2p^7, B=\frac{3}{2}m^5k^2p и C=-\frac{1}{4}k^4p.
2. Намерете степента и коефициента на едночлена:
а) (1,5x^2y^3z^4)(4xyz^5); б) \left(\frac{7}{8}m^2k^3p^4\right)\left(\frac{1}{4}mkp^3\right); в) (1,5ax^2y^3z^6)(-2,5a^2xy^2z^3);
г) \left(-\frac{1}{2}ak^4p^3m^2\right)\left(-\frac{1}{3}a^2bkp^2m^3\right).
3. Извършете степенуването на едночлените:
а) (2x^2y^3z^4)^3; б) \left(\frac{2}{3}ab^4c^5\right)^8; в) (-bx^4y^5z^2)^{11}; г) (-2n^2m^3p^5)^{2n}\ \ (n\in\mathbb{N}).
а) (2x^2y^3z^4)^3; б) \left(\frac{2}{3}ab^4c^5\right)^8; в) (-bx^4y^5z^2)^{11}; г) (-2n^2m^3p^5)^{2n}\ \ (n\in\mathbb{N}).
4. Ако u=3abm^2x^3, v=-2a^2mxy и w=a^3mxy, то намерете \frac{u.v}{w}.
5. Ако A=(x^2-xy+2y^2) и B=(2x-y), то намерете A.B.
6. Да се докаже тъждеството (a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)-(a-d)(c-b)=0.
7. Намерете числената стойност на израза:
U=(2mn)^3+3mn^22mn-5mn(mn)^2+2mn^2(-3mn) за m=-\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}.
8. Намерете стойността на израза b(b-1)-b^2+2b при b=-1.
9. Намерете стойността на израза 2(3x-2)-x(7-x) при x=-2^2
10. Да се запише с нормален многочлен изразът (2y-1)(1-y)-(2-y^3).
11. Намерете стойността на израза A=6(x+5)-2(x-3)(4x-5)+5x(7x-8)-(-6x)^2 за x=\frac{27^{669}}{(-3)^{2008}}.
12. Представете изразите като многочлени в нормален вид:
а) 3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c); б) 8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3); в) (4x^2+2xy+y^2)(2x-y).
а) 3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c); б) 8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3); в) (4x^2+2xy+y^2)(2x-y).
13. Представете произведението (2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1) с нормален многочлен. Намерете за коя стойност на параметъра a коефициентът на члена от четвърта степен и свободният член са равни.
14. Ако m е параметър, а x е променлива, намерете стойността на m, за която многочленът A=mx^2+3mx^2-2x^3+3x^2-5mx+3m-4, има коефициент на члена от втора степен равен на 9.
15. Да се намери нормалният вид на израза:
а) (y-3)(y-1)-(y+1)(y+3); б) 3x-2y(x+1)+x(2y-3); в) 3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3.
16. Нека е даден изразът A=b(y^2-2)-(b+3y)(2y-1), където b параметър. Да се представи A с нормален многочлен и да се намерят стойностите на b, за които многочленът:
а) е от първа степен; б) има равни коефициенти пред y^2 и y; в) при y=1 има стойност 0.
17. След като се опрости изразът M=2(3a-4b)-5[(2a+b)-(a-2b)]-[3(a-b)-6(2a-b)], да се намери стойността на M, ако a=0,1 и b=\frac{1}{13}.
18. Да се опрости изразът P=(a^2+2a-1)(a^3-3a^2+a-1)-a(a^4-a^3-6a^2+4a) и да се посочат поне две стойности на променливата a, за които P>0.
19. Да се намери стойността на израза K=(2-a-a^2)(a^2+3b)+(a^2+b)(a^2-3)+ab(3+2a) при a=-3 и b=\frac{1}{3}.
20. Да се провери верността на равенството:
а) x(x-3a)+a(a+x)=9 за x=a+3;
б) x(x-8a)+a(5x+3)=2 за x=3a-1.
21. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза (a^2-3ab-b^2)(5a^2+ab-3b^2)-(a^2-3ab+3b^2)(5a^2+ab+b^2).
Още обяснени и решени задачи от раздел "Цели изрази" можете да намерите във видеата ми по- долу:
Допълнителни видеа с множество подробно решени задачи (всяко видео е с времетраене над 40 минути) от материала за "Цели изрази", които са част от онлайн дистанционният курс "Успешни в час по математика" може да намерите както следва:
1. Едночлен, нормален вид на едночлен, подобни едночлени, събиране и изваждане на подобни едночлени - https://www.patreon.com/posts/ednochlen-vid-na-63708903?utm_medium=clipboard_copy&utm_source=copy_to_clipboard&utm_campaign=postshare
2. Умножение, деление и степенуване на едночлени - https://www.patreon.com/posts/umnozhenie-i-na-63709148?utm_medium=clipboard_copy&utm_source=copy_to_clipboard&utm_campaign=postshare
3. Многочлен. Нормален вид на многочлен. Събиране и изваждане на многочлени - https://www.patreon.com/posts/mnogochlen-vid-i-63709407?utm_medium=clipboard_copy&utm_source=copy_to_clipboard&utm_campaign=postshare
За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:
https://docs.google.com/forms/d/1o5o7SIvyGURcJ-QX95prL3KONTlCJwCg2etyoIkwwgM
https://docs.google.com/forms/d/1o5o7SIvyGURcJ-QX95prL3KONTlCJwCg2etyoIkwwgM
За да проверите знанията си върху темата "Многочлени, действия с многочлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:
Използвана литература:
1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика
13. Сп. Математика +
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар