Цели изрази 7 клас
Ще дадем дефиниции на някои от основните понятия, които ще поясним с конкретни примери.
Определение 1: Рационален израз, който няма променливи в знаменател, се нарича цял рационален израз.
Определение 2: Едночлен, ще наричаме цял рационален израз, който е произведение от букви и цифри. Едночлени са и също така всяко число, променлива или параметър.
Определение 3: Ще казваме, че един едночлен е в нормален вид, когато той е записан само с един числов множител, който стои на първо място и се нарича коефициент, а всяко произведение от еднакви букви е записано като степен.
Пример: Нека да разгледаме едночлена 3x.x.y.4.y.z. Очевидно този едночлен не е в нормален вид, защото в записът му имаме два числови множителя 3 и 4, а също така, и произведения от еднакви букви, които не са записани като степен. Нормалният вида на едночлена ще бъде 3x.x.y.4.y.z=3.4.x.x.y.y.z=12x^2y^2z. Както се вижда 12x^2y^2z очевидно е в нормален вид, защото отговаря на всички условия от Определение 3 – има само един числов множител 12, а произведенията от еднакви букви е записано като степен.
Нека споменем, че ако в едночлена имаме буквени множители, с които са означени параметри, те са от коефициента на едночлена.
Определение 4: Степен на едночлен се нарича сборът от степенните показатели на променливите в него.
Пример: Да разгледаме едночлена 21x^3y^2zt. За да пресметнем степента на този едночлен е необходимо да пресметнем сбора от степените на променливите x, y, z и t, следователно степента на едночлена е 3+2+1+1=7.
Определение 5: Едночлени, които имат едни и същи нормален вид или пък се различават само по коефициентите си, се наричат подобни.
Пример: Да разгледаме следната двойка едночлени 3x^2y^3 и 3x^2y^2. От Определение 5 следва, че за да бъдат подобни двата едночлена трябва да имат един и същи нормален вид или да се различават по коефициентите си. В този случай виждаме, че двата едночлена нямат един и същи нормален вид, защото x^2y^3\neq x^2y^2 и следователно не са подобни. Ако обаче разгледаме двойката едночлени 3x^2y^3 и -10x^2y^3 виждаме, че те са подобни, защото се различават единствено по коефициентите си.
Едночлени, можем да събираме и изваждаме само ако те са подобни. Тогава извършваме действията (събираме или изваждаме) с техните коефициенти, а буквите просто дописваме към полученият резултат.
Пример: Имаме едночлените 5x^2y и 2x^2y, следователно 5x^2y+2x^2y=(5+2)x^2y=7x^2y. Нека сега от 5x^2y извадим 2x^2y, следователно 5x^2y-2x^2y=(5-2)x^2y=3x^2y.
Нека сега да видим, как ще умножаваме и делим едночлени.
Пример: Разглеждаме едночлените 10x^3y^2z^4 и -3x^2y^5z^2. Умножаваме ги и получаваме (10x^3y^2z^4)\cdot(-3x^2y^5z^2)=10\cdot(-3)\cdot x^3\cdot x^2\cdot y^2\cdot y^5\cdot z^4\cdot z^2=-30x^5y^7z^6. Можем да споменем, че когато умножаваме два или повече едночлена, тяхното произведение отново е едночлен.
Пример: Дадени са едночлените 24x^4y^3z и 6x^2y^2. Делим 24x^4y^3z на 6x^2y^2, следователно \frac{24x^4y^3z}{6x^2y^2}=4x^2yz. Тук, разбира се, променливите x и y трябва да бъдат различни от 0.
Нека отбележим, че при делението на два едночлена, не винаги полученото частно е едночлен. Например \frac{5x^2y^3}{3xyz}=\frac{5xy^2}{z}.
Пример: Нека извършим степенуването (2x^2y^3)^4. От свойството на степенуване на произведение ((a \cdot b)^n=a^n\cdot b^n) получаваме, че (2x^2y^3)^4=2^4\cdot(x^2)^4\cdot(y^3)^4. Сега прилагаме свойството за степенуване на степен ((a^n)^m=a^{n\cdot m}) и получаваме 2^4\cdot(x^2)^4\cdot(y^3)^4=16x^8y^{12}.
Определение 6: Цял рационален израз, който е сбор от едночлени, се нарича многочлен.
Пример: Изразите 3x^2-5x+6, xy+3, xyz+x^2y^3z+11xy-4 и т.н. са примери за многочлени.
Определение 7: Казваме, че един многочлен е приведен в нормален вид, когато е представен като сбор от неподобни едночлени, всеки от които е в нормален вид.
Пример: Многочленът x^4+3x^3-x^2+x-1 е в нормален вид.
Определение 8: Коефициенти на многочлена ще наричаме коефициентите на участващите в него едночлени.
Определение 9: Най-високата от степените на едночлените, които участват в нормалния вид на многочлена се нарича степен на многочлена.
Пример: Степента на многочлена x^4+3x^3-x^2+x-1 е 4, защото най-високата степен на едночлена участващ в нормалния вид на дадения многочлен (x^4) е 4.
Събиране и изваждане на многочлени ще илюстрираме със следния пример:
Пример: Дадени са многочлените A=3y^3+2y-3 и B=y^3-y-1, следователно
Умножението на многочлен с едночлен ще илюстрираме със следният пример:
Пример: 3x^3\cdot(x^2-4x+2)=3x^3\cdot x^2+3x^3\cdot(-4x)+3x^2\cdot2=3x^5-12x^4+6x^2.
Накрая ще дадем пример и на умножението на многочлен с многочлен:
Пример: (x+3)(x^2-4x+2)=x\cdot x^2+x\cdot(-4x)+x\cdot2+3\cdot x^2+3\cdot(-4x)+3\cdot2=x^3-4x^2+2x+3x^2-12x+6. Сега привеждаме многочлена в нормален вид и получаваме x^3-x^2-10x+6.
1 Задача: Да се намери нормалният вид на многочлена (y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3.
Решение: Разкриваме скобите и извършваме действията с подобните едночлени, следователно
2 Задача: Пресметнете стойността на израза 4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x) при x=1,01.
Решение: Опростяваме дадения израз буквено и след това заместваме с x=1,01, така получаваме, че
3 Задача: Приведете многочлена A=4x-4a-x^3-3xa^2+a^3+3x^2a в нормален вид.
Решение: Привеждаме многочлена в нормален вид, като вземем под внимание, че a е параметър, а не променлива. Подреждаме едночлените по степените на x и получаваме:
4 Задача: Даден е многочленът A=3x^3-ax^2+ax+5x-2a+1.
а) Приведете в нормален вид многочлена A.
б) За коя стойност на a многочленът A няма едночлен от първа степен?
Решение: а) Привеждаме многочлена в нормален вид, като вземем предвид, че a е параметър, а не променлива, и подреждаме едночлените по степените на x, получаваме:
б) За да нямаме едночлен от първа степен, коефициентът (a+5) пред x трябва да бъде равен на 0, т.е. a+5=0, от където следва, че a=-5.
5 Задача: Намерете сборът на многочлените u=6xy^2+5x+7y-3 и v=5y^2x-3x-5y+3.
Решение: Търсим
6 Задача: Даден е изразът:
а) Приведете A в нормален вид.
б) Намерете стойността на A, ако
Решение, а): Разкриваме скобите в израза A, като приложим правилата за умножение на едночлен с многочлен и многочлен с многочлен:
Решение, б): Нека първо пресметнем стойностите:
7 Задача: Докажете, че стойността на израза
Решение: Разкриваме скобите:
8 Задача: Дадени са изразите
Решение: Образуваме многочлена:
9 Задача: За коя стойност на параметъра b в нормалния вид на многочлена, равен на
Решение: Нека
Задачи за самостоятелна работа
1. Умножете едночлените:
а) A=-4x^2y^3 и B=-3x^4y^2;
б) A=\frac{3}{4}ab^2c и B=\frac{4}{3}a^2bc^3;
в) A=-\frac{1}{27}mn^2p^7, B=\frac{3}{2}m^5k^2p и C=-\frac{1}{4}k^4p.
2. Намерете степента и коефициента на едночлена:
а) (1,5x^2y^3z^4)(4xyz^5);
б) \left(\frac{7}{8}m^2k^3p^4\right)\left(\frac{1}{4}mkp^3\right);
в) (1,5ax^2y^3z^6)(-2,5a^2xy^2z^3);
г) \left(-\frac{1}{2}ak^4p^3m^2\right)\left(-\frac{1}{3}a^2bkp^2m^3\right).
3. Извършете степенуването на едночлените:
а) (2x^2y^3z^4)^3;
б) \left(\frac{2}{3}ab^4c^5\right)^8;
в) (-bx^4y^5z^2)^{11};
г) (-2n^2m^3p^5)^{2n}\quad (n\in\mathbb{N}).
4. Ако u=3abm^2x^3, v=-2a^2mxy и w=a^3mxy, то намерете \frac{u\cdot v}{w}.
5. Ако A=(x^2-xy+2y^2) и B=(2x-y), то намерете A\cdot B.
6. Да се докаже тъждеството
7. Намерете числената стойност на израза:
8. Намерете стойността на израза b(b-1)-b^2+2b при b=-1.
9. Намерете стойността на израза 2(3x-2)-x(7-x) при x=-2^2.
10. Да се запише с нормален многочлен изразът (2y-1)(1-y)-(2-y^3).
11. Намерете стойността на израза
12. Представете изразите като многочлени в нормален вид:
а) 3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c);
б) 8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3);
в) (4x^2+2xy+y^2)(2x-y).
13. Представете произведението (2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1) с нормален многочлен. Намерете за коя стойност на параметъра a коефициентът на члена от четвърта степен и свободният член са равни.
14. Ако m е параметър, а x е променлива, намерете стойността на m, за която многочленът
15. Да се намери нормалният вид на израза:
а) (y-3)(y-1)-(y+1)(y+3);
б) 3x-2y(x+1)+x(2y-3);
в) 3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3.
16. Нека е даден изразът
а) е от първа степен;
б) има равни коефициенти пред y^2 и y;
в) при y=1 има стойност 0.
17. След като се опрости изразът
18. Да се опрости изразът
19. Да се намери стойността на израза
20. Да се провери верността на равенството:
а) x(x-3a)+a(a+x)=9 за x=a+3;
б) x(x-8a)+a(5x+3)=2 за x=3a-1.
21. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза
Тест: Многочлени и едночлени – Практически задачи
Видео уроци
Още обяснени и решени задачи от раздел "Цели изрази" можете да намерите във видеата ми по-долу:
Допълнителни видеа с множество подробно решени задачи (всяко видео е с времетраене над 40 минути) от материала за "Цели изрази", които са част от онлайн дистанционният курс "Успешни в час по математика", може да намерите както следва:
1. Едночлен, нормален вид на едночлен, подобни едночлени, събиране и изваждане на подобни едночлени - линк
2. Умножение, деление и степенуване на едночлени - линк
3. Многочлен. Нормален вид на многочлен. Събиране и изваждане на многочлени - линк
За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:
За да проверите знанията си върху темата "Многочлени, действия с многочлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:
Използвана литература:
1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар