Общи задачи от формулите за съкратено умножение 7 клас

1 Задача Намерете числената стойност на израза $a^2+b^2$, ако $a+b=5$ и $ab=9$.

Решение: Нека да си припомним формулата за съкратено умножение $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, която вече разгледахме тук. Забелязваме, че $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$, това е така, защото $(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab$, и едночлените $2ab$ и $-2ab$ се съкращават. Така вече разбрахме, как да представим $a^2+b^2$, като сбор и произведение на $a$ и $b$, следователно $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2.9=25-18=7.$

2 Задача Да се докаже тъждеството $(ab+cd)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ad-cb)^2.$

Решение: Трябва да докажем, че лявата страна на това равенство е равна на дясната страна. Ще опростим и двете страни на равенството и ще ги сравним, следователно $ЛС=a^2b^2+2abcd+c^2d^2$. Сега опростяваме дясната страна на равенството $ДС=a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2-(a^2d^2-2adcb+c^2b^2)=a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2-a^2d^2+2adcb-c^2b^2=a^2b^2+c^2d^2+2abcd.$ Така получихме, че $ЛС=ДС$ и равенството е тъждество.

3 Задача Да се пресметне $x^3+y^3$, ако $x+y=t$ и $x^2+y^2=k$.

Решение: Вече ни е добре известно, че $x^3+y^3=(x+y)(x^2+xy+y^2)$, формула, която вече разгледахме тук. Записваме горното равенство по следният начин $x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2+xy)$. От условието на задачата вече знаем, че $x+y=t$ и $x^2+y^2=k$, следователно $x^3+y^3=t(k+xy)$. Сега трябва да изразим $xy$, чрез $t$ и $k$. От 1 Задача в настоящият урок вече видяхме, че $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ и следователно $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$, от където $xy=\frac{t^2-k}{2}$. Заместваме $xy$ с $\frac{t^2-k}{2}$, от където $x^3+y^3=t(k-\frac{t^2-k}{2})=\frac{t}{2}(3k-t^2).$  

4 Задача Приведете многочлена $B=\frac{(x-m)^2}{2}+\frac{(m-x)(m+x)}{4}-\frac{x(3x-m)}{12}$ в нормален вид.

Решение: Общият знаменател на трите дроби очевидно е 12, привеждаме дробите под обще знаменател и получаваме $B=\frac{6(x-m)^2+3(m-x)(m+x)-x(3x-m)}{12}=\frac{6x^2-12mx+6m^2+3m^2-3x^2-3x^2+mx}{12}=\frac{9m^2-11mx}{12}=\frac{3}{4}m^2-\frac{11}{12}mx.$

5 Задача Стойността на израза (x+11)^2+(x-11)^2-3(x-3)(x+3) зависи ли от стойностите на $x$?

Решение: За да отговорим на поставеният въпрос е необходимо да разкрием скобите и извършим привиденията. Ако след това получим константа, т.е. число, това означава, че изразът не зависи от стойността на $x$, ако получим едночлен или многочлен, в който участва $x$ тогава стойността на израза зависи от стойността на $x$. Разкриваме скобите $(x+11)^2+(x-11)^2-3(x-3)(x+3)=x^2+22x+121+x^2-22x+121-2(x^2-9)=x^2+22x+121+x^2-22x+121-2x^2+18.$ Забелязваме, че всички едночлени, в които участва $x$ се съкращават и даденият израз е равен на 260. От тук заключаваме, че каквато и да бъде стойността на $x$ този израз винаги ще бъде равен на 260 т.е. отговорът на поставеният въпрос е че стойността на израза не зависи от стойностите на $x$.

6 Задача Сравнете числените стойности на $A=(x-2)(x^2+2x+4)-(x-1)^3-2$ и $B=3(x^2-x-3)$ при едно и също $x$.

Решение: Ще разкрием скобите в $A$ и $B$ и след това ще ги сравним. Следователно 

$A=x^3-8-(x^3-3x^2+3x-1)-2=$

$=x^3-8-x^3+3x^2-3x+1-2=3x^2-3x-9.$ 

Сега разкриваме скобите и в израза $B$ и получаваме, че $B=3x^2-3x-9$. От тук ясно се вижда, че $A=B$ за едни и същи $x$. 

7 Задача Опростете израза $(x-1)(x^2+x+1)-(x+1)(x^2-x+1)+(x+1)^2-(x+2)(x-2)$ и намерете числената му стойност при $x=1\frac{1}{2}.$

Решение: Разкриваме скобите и опростяваме буквено израза, и след това заместваме с $x=1\frac{1}{2}$: $x^3-1-(x^3+1)+x^2+2x+1-(x^2-4)=$

$=x^3-1-x^3-1+x^2+2x+1-x^2+4=2x+3.$ 

Сега заместваме $x$ със $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ и получаваме $2.\frac{3}{2}+3=6$, с което задачата е решена.

8 Задача Пресметнете рационално израза $\frac{(63+28)(63^2-63.28+28^2)}{a(63^3+28^3)}+(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ при $a=9$, $b=2$, $c=3$.

Решение: Забелязваме, че $(63^3+28^3)=(63+28)(63^2-63.28+28^2)$, следователно $\frac{(63+28)(63^2-63.28+28^2)}{a(63^3+28^3)}+(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{(63+28)(63^2-63.28+28^2)}{a(63+28)(63^2-63.28+28^2)}+(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$. За произведението $(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$, прилагаме формулата $(a-b)(a+b)$, която е разгледана по подробно тук от където получаваме, че даденият израз е равен на $\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}.$ Сега заместваме $a$, $b$ и $c$ с числените им стойности и получаваме $\frac{1}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{1}{4}$.

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се докаже тъждеството $(a+b+c)^2+(-a+b+c)^2+(a-b+c)^2+(a+b-c)^2=4(a^2+b^2+c^2)$.

2. За коя стойност на параметъра $a$ многочленът $4x(x^2-3x+a)-8ax^2(x-4)^2+12(x-1)(x^2+x+1)$ не съдържа член от трета степен в нормалният си вид?

3. Намерете стойността на многочлена $\frac{1}{x}(x+\frac{1}{2})^2+4(5x-2\frac{1}{4})-(\frac{x}{2}-2)(\frac{x}{2}+2)$, при $x=-\frac{2^4}{4^3}$.

4. Приведете многочлена $M=12(\frac{4x+1}{4}-\frac{3x-2}{3}+\frac{x^3}{12})-\frac{2(1-x)^2-4x^2}{2}+(2-x)^3$ в нормален вид и пресметнете стойността му при $x=-\frac{1}{2}.$

5. Да се приведе изразът $(x+1)(x-1)-(-x-2)^2$ в нормален вид.

6. Да се намери стойността на израза $(x-2)^2-2(x-2)(x+2)+(x+2)^2-2x$, при $x=-|-\frac{3}{4}|$.

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеата ми по-долу:

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +