Общи задачи от формулите за съкратено умножение 7 клас

Продължаваме със следващата и последна от формулите за съкратено умножение, които се изучават в 7 клас, а именно формулата $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$. Ще разгледаме някои задачи, с които ще покажем приложенията на тази формула.

1 Задача: Намерете числената стойност на израза $a^2+b^2$, ако $a+b=5$ и $ab=9$.

Решение: Припомняме си формулата

$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.$$ Оттук получаваме: $$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2-2\cdot9 = 25 - 18 = 7.$$

2 Задача: Да се докаже тъждеството

$$(ab+cd)^2 = (a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ad-cb)^2.$$

Решение: Разглеждаме лявата страна:

$$(ab+cd)^2 = a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2.$$ Сега дясната страна: $$(a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ad-cb)^2 = a^2b^2 + a^2d^2 + c^2b^2 + c^2d^2 - \left(a^2d^2 - 2adcb + c^2b^2\right).$$ Разпределяме минуса: $$= a^2b^2 + a^2d^2 + c^2b^2 + c^2d^2 - a^2d^2 + 2adcb - c^2b^2.$$ Групираме подобните членове: $$= a^2b^2 + c^2d^2 + 2abcd.$$ Така получаваме, че ЛС = ДС и тъждеството е доказано.

3 Задача: Намерете $x^3+y^3$, ако $x+y=t$ и $x^2+y^2=k$.

Решение: Използваме формулата

$$x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2).$$ Можем да я запишем като: $$x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2+xy).$$ От условието знаем, че $x+y=t$ и $x^2+y^2=k$. За да намерим $xy$, използваме: $$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \quad \Longrightarrow \quad 2xy=t^2-k,$$ тоест: $$xy=\frac{t^2-k}{2}.$$ След това: $$x^3+y^3 = t\left(k + \frac{t^2-k}{2}\right) = \frac{t}{2}(t^2+ k).$$ (Забележка: Формулата може да се запише и в друга еквивалентна форма.)

4 Задача: Приведете многочлена

$$B=\frac{(x-m)^2}{2}+\frac{(m-x)(m+x)}{4}-\frac{x(3x-m)}{12}$$ в нормален вид.

Решение: Общият знаменател на дробите е 12, така че:

$$B=\frac{6(x-m)^2+3(m-x)(m+x)-x(3x-m)}{12}.$$ Разглеждаме числителя: $$6(x-m)^2 = 6x^2-12mx+6m^2,$$ $$3(m-x)(m+x) = 3(m^2-x^2)= 3m^2-3x^2,$$ $$-x(3x-m) = -3x^2+mx.$$ Сумирайки: $$6x^2-12mx+6m^2 + 3m^2-3x^2 - 3x^2+mx = (6x^2-3x^2-3x^2) + (-12mx+mx) + (6m^2+3m^2).$$ Получаваме: $$= 0\cdot x^2 - 11mx + 9m^2.$$ Следователно: $$B=\frac{9m^2-11mx}{12} = \frac{3}{4}m^2-\frac{11}{12}mx.$$

5 Задача: Стойността на израза $(x+11)^2+(x-11)^2-2(x-3)(x+3)$ зависи ли от стойностите на $x$?

Решение: Разкриваме скобите:

$$(x+11)^2=x^2+22x+121,\quad (x-11)^2=x^2-22x+121,$$ и $$(x-3)(x+3)=x^2-9.$$ Следователно: $$(x+11)^2+(x-11)^2-2(x-3)(x+3)= (x^2+22x+121)+(x^2-22x+121)-2(x^2-9).$$ Групирайки: $$=2x^2+242-2x^2+18 = 260.$$ Тъй като резултатът е константа, изразът не зависи от $x$.

6 Задача: Сравнете числените стойности на

$$A=(x-2)(x^2+2x+4)-(x-1)^3-2$$ и $$B=3(x^2-x-3)$$ при едно и също $x$.

Решение: Изчисляваме:

$$(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8,$$ а $$(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1.$$ Следователно: $$A=x^3-8 - (x^3-3x^2+3x-1)-2 = x^3-8-x^3+3x^2-3x+1-2,$$ което опростява до: $$A=3x^2-3x-9.$$ От друга страна: $$B=3(x^2-x-3)=3x^2-3x-9.$$ Така $A=B$ за всяко $x$.

7 Задача: Опростете израза $(x-1)(x^2+x+1)-(x+1)(x^2-x+1)+(x+1)^2-(x+2)(x-2)$ и намерете числената му стойност при $x=1\frac{1}{2}$.

Решение: Разглеждаме:
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1,$
$(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1,$
$(x+1)^2=x^2+2x+1,$ и <((x+2)(x-2)=x^2-4\).
Следователно:

$$(x-1)(x^2+x+1)-(x+1)(x^2-x+1)+(x+1)^2-(x+2)(x-2)= (x^3-1) - (x^3+1) + (x^2+2x+1) - (x^2-4).$$ Опростяваме: $$= x^3-1-x^3-1+x^2+2x+1-x^2+4 = 2x+3.$$ При $x=1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$: $$2\cdot\frac{3}{2}+3=3+3=6.$$

8 Задача: Пресметнете рационално израза

$$\frac{(63+28)(63^2-63\cdot28+28^2)}{a(63^3+28^3)}+\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$ при $a=9$, $b=2$, $c=3$.

Решение: Забелязваме, че

$$63^3+28^3=(63+28)(63^2-63\cdot28+28^2).$$ Оттук: $$\frac{(63+28)(63^2-63\cdot28+28^2)}{a(63^3+28^3)} = \frac{1}{a}.$$ За втория компонент използваме: $$\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}.$$ Следователно изразът става: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}.$$ Замествайки $a=9$, $b=2$ и $c=3$: $$\frac{1}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{1}{4}.$$

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се докаже тъждеството

$$(a+b+c)^2+(-a+b+c)^2+(a-b+c)^2+(a+b-c)^2=4(a^2+b^2+c^2).$$

2. За коя стойност на параметъра $a$ многочленът

$$4x(x^2-3x+a)-8ax^2(x-4)^2+12(x-1)(x^2+x+1)$$ не съдържа член от трета степен в нормалния си вид?

3. Намерете стойността на многочлена

$$\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+4\left(5x-\frac{9}{4}\right)-\left(\frac{x}{2}-2\right)\left(\frac{x}{2}+2\right),$$ при $x=-\frac{2^4}{4^3}$.

4. Приведете многочлена

$$M=12\left(\frac{4x+1}{4}-\frac{3x-2}{3}+\frac{x^3}{12}\right)-\frac{2(1-x)^2-4x^2}{2}+(2-x)^3$$ в нормален вид и пресметнете неговата стойност при $x=-\frac{1}{2}$.

5. Да се приведе изразът $(x+1)(x-1)-(-x-2)^2$ в нормален вид.

6. Да се намери стойността на израза

$$(x-2)^2-2(x-2)(x+2)+(x+2)^2-2x,$$ при $x=-\left|-\frac{3}{4}\right|$.

Видео уроци

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +