Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$ 7 клас

Продължаваме със следващата от формулите за съкратено умножение $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$. Да разгледаме някои задачи, с които ще илюстрираме приложенията на тази формула.

1 Задача: Извършете степенуването $(x+2)^3$.

Решение: За решаването на тази задача прилагаме формулата $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$ Тъй като тук $a=x$ и $b=2$, получаваме: $$(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8.$$

2 Задача: Извършете степенуването $(2m-3n)^3$.

Решение: Използваме формулата за разлика на кубове: $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$ Тук поставяме $a=2m$ и $b=3n$. Следователно: $$(2m-3n)^3=(2m)^3-3(2m)^2(3n)+3(2m)(3n)^2-(3n)^3.$$ Изчисляваме стъпка по стъпка: $$(2m)^3=8m^3,\quad 3(2m)^2(3n)=36m^2n,\quad 3(2m)(3n)^2=54mn^2,\quad (3n)^3=27n^3.$$ Така: $$(2m-3n)^3=8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3.$$

3 Задача: Извършете степенуването $(3t+z^2)^3$.

Решение: Прилагаме формулата за куб на двучлен: $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$ Тук $a=3t$ и $b=z^2$. Следователно: $$(3t+z^2)^3=(3t)^3+3(3t)^2z^2+3(3t)(z^2)^2+(z^2)^3.$$ Където: $$(3t)^3=27t^3,\quad 3(3t)^2z^2=3\cdot9t^2\cdot z^2=27t^2z^2,$$ $$3(3t)(z^2)^2=9tz^4,\quad (z^2)^3=z^6.$$ Така получаваме: $$(3t+z^2)^3=27t^3+27t^2z^2+9tz^4+z^6.$$

4 Задача: Опростете израза $(x+1)^3-2(x-1)^2$.

Решение: В този израз участват две формули:
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Замествайки $a=x$ и $b=1$ в първата формула, имаме: $$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1.$$ За втората формула: $$(x-1)^2=x^2-2x+1.$$ Така: $$(x+1)^3-2(x-1)^2=x^3+3x^2+3x+1-2(x^2-2x+1).$$ Изчисляваме: $$= x^3+3x^2+3x+1-2x^2+4x-2 = x^3+x^2+7x-1.$$

5 Задача: Опростете израза $(3x+2)^3-3x(3x+1)(3x-1)-(3x+2)(x+4)$.

Решение: Първо изчисляваме $(3x+2)^3$ по формулата $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$ където $a=3x$ и $b=2$: $$(3x+2)^3=(3x)^3+3(3x)^2\cdot2+3(3x)\cdot2^2+2^3=27x^3+54x^2+36x+8.$$ След това изчисляваме $(3x+1)(3x-1)$ като използваме $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$ с $a=3x$ и $b=1$: $$(3x+1)(3x-1)=9x^2-1.$$ Умножете това по $3x$: $$3x(9x^2-1)=27x^3-3x.$$ Сега, извършваме умножението $(3x+2)(x+4)$: $$(3x+2)(x+4)=3x^2+12x+2x+8=3x^2+14x+8.$$ Изваждаме второто и третото произведение от първото: $$(3x+2)^3-3x(3x+1)(3x-1)-(3x+2)(x+4)= (27x^3+54x^2+36x+8) - (27x^3-3x) - (3x^2+14x+8).$$ Групираме подобните членове и получаваме: $$27x^3-27x^3 + (54x^2-3x^2) + (36x+3x-14x) + (8-8)=51x^2+25x.$$

6 Задача: Извършете означените действия $(a-1)^3-(a+1)^3-(a+1)(a-1).$

Решение: Използваме формулата за куб на двучлен: $$(a\pm1)^3=a^3\pm3a^2+3a\pm1.$$ Така: $$(a-1)^3 = a^3-3a^2+3a-1,\quad (a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1.$$ Разликата е: $$(a-1)^3-(a+1)^3 = (a^3-3a^2+3a-1) - (a^3+3a^2+3a+1) = -6a^2-2.$$ Също знаем, че: $$(a+1)(a-1)=a^2-1.$$ Така полученият израз става: $$-6a^2-2 - (a^2-1) = -7a^2-1.$$

7 Задача: Представете четиричлена като куб на двучлен $x^3-12x^2+48x-64$.

Решение: Забелязваме, че:
$x^3-12x^2+48x-64$ може да се запише във вида $$x^3-3\cdot x^2\cdot4+3\cdot x\cdot4^2-4^3.$$ Прилагайки формулата $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,$$ със $a=x$ и $b=4$, получаваме: $$(x-4)^3=x^3-12x^2+48x-64.$$

8 Задача: Определете стойността на израза $(x+1)^3-(x-1)(x+1)-x(x+1)^2$, при $x=\frac{1}{2}$.

Решение: Първо прилагаме:
$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1,$
$(x-1)(x+1)=x^2-1,$
$(x+1)^2=x^2+2x+1.$
Следователно изразът става: $$x^3+3x^2+3x+1 - (x^2-1) - x(x^2+2x+1).$$ Разгръщаме: $$= x^3+3x^2+3x+1 -x^2+1 - x^3-2x^2-x.$$ Групирайки подобните членове: $$(x^3-x^3)+(3x^2-x^2-2x^2)+(3x-x)+ (1+1)= 0x^3+0x^2+2x+2=2x+2.$$ При $x=\frac{1}{2}$: $$2\cdot\frac{1}{2}+2= 1+2=3.$$

9 Задача: Опростете израза $(a+b)(b-a)+a(a-4c)$ и намерете числената му стойност при $a=2$, $b=-5$ и $c=3$.

Решение: Първо забелязваме, че: $$(a+b)(b-a) = -\,(a+b)(a-b) = -(a^2-b^2).$$ След това: $$(a+b)(b-a)+a(a-4c)= -\,(a^2-b^2)+ a^2-4ac = b^2-4ac.$$ Замествайки $a=2$, $b=-5$ и $c=3$: $$(-5)^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1.$$

10 Задача: Намерете числената стойност на израза $(2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)$, ако $x=\frac{1}{3}$.

Решение: Първо намираме:
$(2x-3)^2=4x^2-12x+9,$
$(x-2)(x+2)=x^2-4,$
$(x-1)(3x-2)=3x^2-5x+2.$
След това: $$(2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)= (4x^2-12x+9) - (x^2-4) - (3x^2-5x+2).$$ Разгрупирайки: $$= (4x^2-x^2-3x^2)+(-12x+5x)+(9+4-2)= 0x^2 - 7x+11.$$ При $x=\frac{1}{3}$: $$-7\cdot\frac{1}{3}+11=-\frac{7}{3}+11=\frac{-7+33}{3}=\frac{26}{3}.$$

Задачи за самостоятелна работа

1. Извършете степенуването:
а) $(2x+1)^3;$ б) $(2m-2n)^3;$ в) $\left(\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b\right)^3;$ г) $(3-y^2)^3;$ д) $(a-b+c)^3.$

2. Опростете израза:
а) $(2x+5)^3-2x(2x-3)^2-5(2x+25);$ б) $(y+2)^3+(2y+x-3)-(-x+3)^2+(-y-2)^3;$ в) $t(t-3)^2-(t-1)^3.$

3. Докажете, че стойността на израза $(x+2)^3-6(x+1)(x-1)-3(4x+1)-x^3$ не зависи от $x$.

4. Намерете числената стойност на израза:
а) $(2x+1)^3-8x(x+1)(x-1)-6x(2x-3)$, при $x=\left(-\frac{1}{2}\right)^5;$ б) $x(x-2)-(x-2)^3$ при $x=-1;$ в) $6t^2+(t-2)^3-t^3$ при $t=\frac{2}{3};$ г) $b(b-1)(1+b)+(-b-1)^3+b$ за $b=-\frac{1}{3};$ д) $z(z-1)(1+z)+(-z-1)^3$ при $z=(-1)^{303}$.

5. За коя стойност на параметъра $c$ коефициентът пред $x^2$ в нормалния вид на многочлена, равен на израза $$A=(c-2x)^3-x(x-c),$$ е равен на 22.

6. За коя стойност на променливата числената стойност на израза:
а) $(4-y)y(4+y)+(y-2)^3+6y^2$ е равна на 20; б) $x(x-1)^2-(x-1)^3-x^2$ е равна на -3.

7. Намерете най-малката стойност на израза $(2+x)^3-3x\left(\frac{x^2}{3}+4\right)+(3-x)(3+x).$

8. Намерете най-голямата стойност на израза $(y-3)^3-3y\left(9+\frac{y^2}{3}\right)-(y+6)(y-6).$

9. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза:
а) $(a^2-3)^3-(a-2)(a^2+4)(a+2)-a^4(a^2-10);$
б) $(2a-3b)^3-(a+2b)^3+7a^2(6b-a);$
в) $(2a-3)^3-(2-3a)^3-35a^3+90a^2;$
г) $\left(\frac{1}{2}x+2y\right)^3-\left(2x-\frac{1}{2}y\right)^3+7\frac{7}{8}x^3-7\frac{1}{2}x^2y;$
д) $x^3+3x^2(x-2)+3x(x-2)^2+(x-2)^3;$
е) $(a-b)^3+3(a-b)^2(b-c)+3(a-b)(b-c)^2+(b-c)^3;$
ж) $(2x-m)^3-3(2x-m)^2(y-m)+3(2x-m)(y-m)^2-(y-m)^3.$

10. Вярно ли е, че при всяко $x$ от израза $$C=(5-x)^2-(x-3)(x+3)+5(2x-5)$$ се получава $C>0$?

Тест: Формули за куб на двучлен и свързани операции

1. След като степенуваме многочлена $(4x-3y)^3$ се получава:

$64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 - 27y^3$ $64x^3 - 144x^2y + 108xy^2 + 27y^3$ $64x^3 + 144x^2y - 108xy^2 - 27y^3$ $64x^3 - 48x^2y + 36xy^2 - 27y^3$

2. След като опростим израза $(x+1)^3-3(x-1)^2$ се получава:

$x^3-9x-2$ $x^3+9x+2$ $x^3-9x+2$ $x^3+9x-2$

3. Кой от изброените по-долу изрази е тъждествено равен на $(2x^3+3y^3)^3 - (2x^3+3y^3)(2x^3-3y^3) - 12x^3y^3(2x+3y)$?

$12x^3y^3$ $48x^3y^3$ $24x^3y^3$ $36x^3y^3$

4. Като приложите формулата за куб на двучлен пресметнете на колко е равно $97^3$

$912673$ $912700$ $912664$ $912600$

5. На колко е равен сбора от коефициентите $a$ и $b$, ако $(4x+1)^3=ax^3+48x^2+12x+b$?

$63$ $66$ $64$ $65$

6. На колко е равна стойността на израза $(x-3)^3-x(x^2-6x+11)$ при $x=4$?

$-12$ $11$ $-10$ $-11$

7. На колко е равно неизвестното $x$ в равенството $(x+3)^3-x^3-9x^2=0$?

$x=1$ $x=-1$ $x=3$ $x=-3$

8. За кой от изброените изрази е вярно, че той не зависи от стойността на променливата?

(Изберете този, който след опростяване се свежда до константа)

$\bigl[(b+2)^3-(b+2)(b-2)-b(b^2+4)+6\bigr]$ $\bigl[(b+1)^3-(b+1)(b-1)-b(b^2+2b+3)\bigr]$ $\bigl[(b+1)^3-(b-1)(b+1)-b(b^2+2b+1)\bigr]$ $\bigl[(b+1)^3-(b-1)(b+1)-b(b^2+2b+2)\bigr]$

9. След като приведете в нормален вид произведението $\left(3x^k-2y^l\right)^3$ се получава:

$27x^{3k} - 54x^{2k}y^l - 36x^ky^{2l} - 8y^{3l}$ $27x^{3k} - 18x^{2k}y^l + 12x^ky^{2l} - 8y^{3l}$ $27x^{3k} - 54x^{2k}y^l + 36x^ky^{2l} - 8y^{3l}$ $27x^{3k} + 54x^{2k}y^l + 36x^ky^{2l} + 8y^{3l}$

10. Кой от изброените по-долу изрази е тъждествено равен на $\left(2a+\frac{1}{2}b\right)^3-\left(8a^3+\frac{1}{8}b^3\right)$?

$3ab\Bigl(2a+\frac{1}{2}b\Bigr)$ $3ab\Bigl(a+\frac{1}{2}b\Bigr)$ $3ab\Bigl(2a-\frac{1}{2}b\Bigr)$ $3ab\Bigl(2a+\frac{3}{2}b\Bigr)$

11. След като опростим израза $(-2x+3y)^3-(x-y)^2+(2x-3y)^3$ се получава:

$(x-y)^2$ $- (2x-3y)^3$ $- (x-y)^2+(2x-3y)^3$ $- (x-y)^2$

12. Кой е нормалния многочлен тъждествено равен на израза $(3x+2)^3 - (4x-2)(4x+2) - 3x(3x+2)^2$?

$x^2+24x+12$ $2x^2+24x+12$ $2x^2+24x+6$ $2x^2+12x+12$

13. Като използвате формулата за куб на двучлен, пресметнете числовия израз $\;107^3 - 3\cdot107^2 + 3\cdot107 - 1$

$1191010$ $1191016$ $1191012$ $1191020$

14. Степента и свободният член на многочлена $(3x^2+2x+5)^3$ са:

Степен: 6, свободен член: 5 Степен: 3, свободен член: 125 Степен: 6, свободен член: 125 Степен: 6, свободен член: 15

15. На колко е равна стойността на израза $\left(x^2+\frac{1}{3}a^2\right)^3 - \frac{1}{3}a^2x^2\left(3x^2+a^2\right)$ при $a=3$ и $x=6$?

46684 46683 46682 46680

Видео уроци

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +