Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$ 7 клас

Продължаваме със следващата от формулите за съкратено умножение $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$. Да разгледаме някои задачи, с които ще илюстрираме някои нейни приложения.

1 Задача Извършете степенуването $(x+2)^3$.

Решение: За решаването на тази задача ще приложим формулата $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, където в нашият случай $a=x$, а $b=2$, така получаваме $(x+2)^3=x^3+3x^2.2+3x.2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$.

2 Задача Извършете степенуването $(2m-3n)^3$.

Решение: За решаването на тази задача ще приложим формулата $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, където $a=2m$, а $b=3n$, следователно $(2m-3n)^3=(2m)^3-3.(2m)^2.3n+3.(2m).(3n)^2-(3n)^3=8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3.$

3 Задача Извършете степенуването $(3t+z^2)^3$

Решение: За решаването на тази задача ще приложим формулата $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, където $a=3t$, а $b=z^2$, следователно $(3t+z^2)^3=(3t)^3+3.(3t)^2.z^2+3.(3t)(z^2)^2+(z^2)^3=27t^3+27t^2z^2+9z^4t+z^6.$

4 Задача Опростете израза $(x+1)^3-2(x-1)^2.$

Решение: Забелязваме, че в изразът, който трябва да опростим, участват две от формулите за съкратено умножение $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, последната разгледахме подробно тук. Прилагаме ги и получаваме $(x+1)^3-2(x-1)^2=x^3+3x^2+3x+1-2(x^2-2x+1)=x^3+3x^2+3x+1-2x^2+4x-2=x^3+x^2+7x-1.$ 

5 Задача Опростете израза $(3x+2)^3-3x(3x+1)(3x-1)-(3x+2)(x+4)$

Решение: Прилагаме формулите $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, на която вече се спряхме тук, а произведението $(3x+2)(x+4)$ ще умножим по правилото "всяко по всяко", следователно $(3x+2)^3-3x(3x+1)(3x-1)-(3x+2)(x+4)=9x^3+54x^2+32x+8-3x(9x^2-1)-(3x^2+12x+2x+8)=9x^3+54x^2+32x+8-27x^3+3x-3x^2-14x-8=-18x^3+51x^2+21x.$ 

6 Задача Извършете означените действия $(a-1)^3-(a+1)^3-(a+1)(a-1).$

Решение: Прилагаме формулите $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$ и $(a-b)(a+b)$ и получаваме, че $(a-1)^3-(a+1)^3-(a+1)(a-1)=a^3-3a^2+3a-1-(a^3+3a^2+3a+1)-(a^2-1)=a^3-3a^2+3a-1-a^3-3a^2-3a-1-a^2+1=-7a^2-1.$

7 Задача Представете четиричлена като куб на двучлен $x^3-12x^2+48x-64.$

Решение: Забелязваме в даденият многочлен, че $12x^2=3.4.x^2$, $48x=3.16.x$ и $64=4^3$, следователно този многочлен можем да запишем във вида $x^3-3.x^2.2^2+3.x.4^2-4^3$, сега когато заменим в дясната страна на формулата $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ $a=x$ и $b=4$, получаваме, че $x^3-3.x^2.2^2+3.x.4^2-4^3=(x-4)^3.$ Ето как представихме даденият четиричлен като куб на двучлен.  

8 Задача Определете стойността на израза $(x+1)^3-(x-1)(x+1)-x(x+1)^2$, при $x=\frac{1}{2}.$

Решение: Прилагаме формулите $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, следователно $(x+1)^3-(x-1)(x+1)-x(x+1)^2=x^3+3x^2+3x+1-(x^2-1)-x(x^2+2x+1)=x^3+3x^2+3x+1-x^2+1-x^3-2x^2-x=2x+2.$ Сега пресмятаме стойността на израза за $x=\frac{1}{2}$ и получаваме $2.\frac{1}{2}+2=3.$

Задачи за самостоятелна работа

1. Извършете степенуването:

а) $(2x+1)^3;$ б) $(2m-2n)^3;$ в) $(\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b)^3;$  г) $(3-y^2)^3;$ д) $(a-b+c)^3.$

2. Опростете израза: 

а) $(2x+5)^3-2x(2x-3)^2-5(2x+25);$ 

б) $(y+2)^3+(2y+x-3)-(-x+3)^2+(-y-2)^3;$ 

в) $t(t-3)^2-(t-1)^3;$ 

3. Докажете, че стойността на израза $(x+2)^3-6(x+1)(x-1)-3(4x+1)-x^3$, не зависи от стойността на $x.$

4. Намерете числената стойност на израза: 

а) $(2x+1)^3-8x(x+1)(x-1)-6x(2x-3)$, при $x=(-\frac{1}{2})^5;$

б) $x(x-2)-(x-2)^3$ при $x=-1;$ в) $6t^2+(t-2)^3-t^3$ при $t=\frac{2}{3};$

г) $b(b-1)(1+b)+(-b-1)^3+b$ за $b=-\frac{1}{3};$ д) $z(z-1)(1+z)+(-z-1)^3$ при $z=(-1)^{303}.$

5. За коя стойност на параметъра $c$ коефициентът пред $x^2$ в нормалният вид на многочлена, който е равен на израза $A=(c-2x)^3-x(x-c)$, е равен на 22.

6. За коя стойност на променливата числената стойност на израза:

а) $(4-y)y(4+y)+(y-2)^3+6y^2$ е равна на $20;$ б) $x(x-1)^2-(x-1)^3-x^2$ е равна на -3;

7. Намерете най-малката стойност на израза $(2+x)^3-3x(\frac{x^2}{3}+4)+(3-x)(3+x).$

8. Намерете най-голямата стойност на израза $(y-3)^3-3y(9+\frac{y^2}{3})-(y+6)(y-6)$.

9. Да се намери нормалният многочлен, тъждествен на израза: 

а) $(a^2-3)^3-(a-2)(a^2+4)(a+2)-a^4(a^2-10)$;

б) $(2a-3b)^3-(a+2b)^3+7a^2(6b-a)$;

в) $(2a-3)^3-(2-3a)^3-35a^3+90a^2$;

г) $(\frac{1}{2}x+2y)^3-(2x-\frac{1}{2}y)^3+7\frac{7}{8}x^3-7\frac{1}{2}x^2y$;

д) $x^3+3x^2(x-2)+3x(x-2)^2+(x-2)^3$;

е) $(a-b)^3+3(a-b)^2(b-c)+3(a-b)(b-c)^2+(b-c)^3$;

ж) $(2x-m)^3-3(2x-m)^2(y-m)+3(2x-m)(y-m)^2-(y-m)^3$.

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеата ми по-долу:

За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в линка по-долу:

https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +