Общи задачи от разлагане на многочлен на множител 7 клас

Ще разгледаме някои интересни задачи свързани с разлагането на многочлени на множители, както и приложенията на разлагането на многочлени.

1 Задача Даден е многочленът $A=(x^2-4)^2-(x-2)^2.$

а) Да се приведа $A$ в нормален вид;

б) Да се разложи $A$ на прости множители;

в) Да се пресметне стойността на $A$ за $(\frac{1}{2})^{-1}.$

Решение: а) За даденият многочлен прилагаме формулата $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, следователно $A=x^4-8x^2+16-(x^2-4x+4)=x^4-8x^2+16-x^2+4x-4=x^4-9x^2+4x+12$ с което тази подточка е решена.

б) За разлагането на многочлена $x^4-9x^2+4x+12$, ще групираме първите две и последните две събираеми, и ще изнесем общите множители, от където $x^4-9x^2+4x+12=x^2(x^2-9)+4(x+3).$ Сега прилагаме формулата $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и изнасяме общият множител $(x+3)$, следователно $x^2(x^2-9)+4(x+3)=x^2(x-3)(x+3)+4(x+3)=(x+3)[x^2(x-3)+4]=(x+3)(x^3-3x^2+4).$ Записваме полученият израз по следният начин $(x+3)(x^3+x^2-4x^2+4).$ Сега групираме и изнасяме общите множители пред скоби $(x+3)[x^2(x+1)-4(x^2-1)]=(x+3)[x^2(x+1)-4(x+1)(x-1)].$ От израза в средните скоби изкарваме общ множител $(x+1)$, следователно имаме $(x+3)(x+1)[x^2-4(x+1)]=(x+3)(x+1)(x^2-4x+4).$ Не е трудно да се види, че $x^2-4x+4=(x-2)^2$. Така получаваме и окончателният отговор на това подусловие $x^4-9x^2+4x+12=(x+3)(x+1)(x-2)^2.$

в) Тъй като $(\frac{1}{2})^{-1}=2$, за стойността на $A$ при $x=2$ получаваме $(2+3)(2+1)(2-2)^2=0.$   

2 Задача Да се разложи на множители многочлена $x^4+2x^3+2x^2+x$ и да се намери числената му стойност при $x=2.$

Решение: Даденият многочлен записваме във вида $x^4+x+2x^3+2x^2.$ Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме общите множители, следователно $x^4+x+2x^3+2x^2=x(x^3+1)+2x^2(x+1)=x(x+1)(x^2-x+1)+2x^2(x+1).$ Изнасяме пред скоби общият множител $(x+1)$ и получаваме $(x+1)[x(x^2-x+1)+2x^2]=(x+1)(x^3-x^2+x+2x^2)=(x+1)(x^3+x^2+x)=x(x+1)(x^2+x+1).$ Сега заместваме в полученото произведение с $x=2$ и получаваме $2.(2+1)(2^2+2+1)=2.3.7=42.$

3 Задача Дадени са многочлените $A=ax-3a$, $B=ax-x+a-1$ и $C=ax^2-2ax-3a.$

а) Да се разложат на прости множители многочлените $A$, $B$ и $C$;

б) Да се разложи многочлена $D=A-C$ на прости множители и след това да се намери стойността на $D$ за $a=2$ и $x=1.$

Решение: а) В многочлена $A$ изнасяме общият множител $a$ и получаваме $A=a(x-3)$, за многочлена $B$, групираме първите две и последните две събираеми и разлагаме $B=x(a-1)+(a-1)=(a-1)(x+1).$ Многочленът $C$ записваме във вида $C=ax^2+ax-3ax-3a.$ Групираме първите и последните две събираеми и изнасяме пред скоби общите множители, следователно $C=ax(x+1)-3a(x+1)=(x+1)(ax-3a)=a(x+1)(x-3).$

б) Формираме многочлена $A-C=ax-3a-(ax^2-2ax-3a)=ax-3a-ax^2+2ax+3a=-ax^2+3ax.$ Сега го разлагаме $-ax^2+3ax=ax(3-x)$. Пресмятаме стойността на многочлена при $a=2$ и $x=1.$ Така получаваме $2.1(3-1)=2.2=4.$   

4 Задача Да се докаже, че за стойности на $x$, по-големи от 2, изразът $M=x^3-x^2-x-2$ приема положителни стойност.

Решение: Даденият многочлен записваме по следният начин $M=x^3-1-(x^2+x+1).$ Прилагаме формулата $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, следователно $(x-1)(x^2+x+1)-(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x-1-1)=(x^2+x+1)(x-2).$ От тук лесно се вижда, че за стойности по-големи от 2 множителят $(x-2)>0$, както и множителят $(x^2+x+1)>0$, следователно многочленът $M$ приема само положителни стойности при $x>2.$

5 Задача Да се представи изразът $(5x+1)^2-(2x-3)^2$, като произведение на два множителя от първа степен и да се определи за кои стойности на $x$ той има:

а) положителна стойност;

б) изразът е равен на $0.$

Решение: а) Прилагаме формулата за съкратено умножение $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, където $a=5x+1$, а $b=2x-3$, така получаваме $(5x+1)^2-(2x-3)^2=[5x+1-(2x-3)](5x+1+2x-3)=(5x+1-2x+3)(7x-2)=(3x+4)(7x-2).$ Представихме даденият израз, като произведение от два множителя от първа степен с което тази подточка е решена.

б) Произведението $(3x+4)(7x-2)$ ще бъде равно на $0$, ако някой от множителите $(3x+4)$ и $(7x-2)$ е равен на нула или и двата едновременно са равни на $0$. Следователно решаваме уравненията $3x+4=0$ и $7x-2=0$ от където за решение на първото уравнение получаваме $x=-\frac{4}{3}$(прехвърляме $4$ отдясно на знака равно и делим на 3). Второто уравнение има за решение $x=\frac{2}{7}$. От тук заключаваме, че изразът $(5x+1)^2-(2x-3)^2$ ще бъде равен на $0$, когато $x=-\frac{4}{3}$ или $x=\frac{2}{7}.$

6 Задача Докажете тъждеството $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy.$

Решение: Ще докажем, че лявата страна на това равенство е равна на дясната страна, следователно $ЛС=[x+y-(x-y)](x+y+x-y)=(x+y-x+y)(2x)=2y.2x=4xy$. Получихме, че $ЛС=ДС$, следователно равенството е тъждество.

7 Задача Даден е изразът $x^2-2kx+k+2$.

а) Да се намери $k$, ако стойността на израза при $x=1$ е $0$.

б) Да се замести $k$ с намереното число и да се разложи полученият израз.

Решение: а) Тъй като даденият израз по условие е равен на $0$ това означава, че можем да запишем равенството $x^2-2kx+k+2=0$. Нека сега в това равенство да заместим $x$ с $1$ (по условие ни е казано, че $x=1$). Така получаваме уравнението $1^2-2k.1+k+2=0$ в което неизвестното е само $k$. Решаваме уравнението $1-2k+k+2=0\iff -k=-3$ от където следва, че $k=3$.
б) Заместваме $k$ с $3$ и получаваме израза $x^2-2.3x+3+2=x^2-6x+5$. Сега изразът $x^2-6x+5$ да го представим по следният начин $x^2-5x-x+5$. Групираме първите две събираеми и вторите две събираеми, като от първите две изнасяме общият множител $x$, а от вторите две изнасяме множител $-1$ и така получаваме $x(x-5)-1(x-5)$. Сега изнасяме $(x-5)$ пред скоби и получаваме $x(x-5)-1(x-5)=(x-1)(x-5)$, с което задачата е решена. 

Задачи за самостоятелна работа

1. Да се разложи на прости множители многочлена $A=x^2+x-x(x^2-1).$

2. Да се разложи на прости множители двучлена $P=a^8-a^5$ и да се намери стойността му за $a=|\frac{(-\frac{1}{4})^0-(\frac{1}{5})^{-1}}{2}|.$

3. Да се пресметне стойността на израза $\frac{x^3-x^2+x-1}{1-x^2}$, при $x=-0,25.$

4. Да се разложи на множители многочлена $x^3-3x^2y-xz^2+3xy^2-y^3+yz^2.$

5. Намерете стойността на израза $x^2+y^2-2xy-2x+2y+4$ при $x-y=-6.$

6. Даден е многочленът $A=9x-9a-x^3-3xa^2+a^3+3x^2a.$
а) Приведете многочлена $A$ в нормален вид;
б) За кои стойности на параметъра $a$ коефициентът пред $x$ в нормалния вид на многочлена $A$ е равен на 1?
в) Разложете на прости множители многочлена $A$.

7. Да се пресметне $a^2+\frac{1}{a^2}$ и $a^3+\frac{1}{a^3}$, ако $a+\frac{1}{a}=5.$

8. Дадени са изразите $A=x^2+y^2$, $B=x+y$ и $C=xy$.

а) Да се докаже, че стойността на израза $A+6-B^2+2C$ не зависи от стойностите на $x$ и $y$.

б) Да се разложи на прости множители изразът $M=A+2C+B.$

в) Да се докаже, че ако $x$ и $y$ са естествени числа, стойността на $M$ е четно число.

9. Даден е изразът $A=a^2+3a+1.$

а) Да се разложи на прости множители изразът $B=A^2-1.$

б) Да се намерят стойностите на $a$, при които стойността на $B$ е равна на нула.

10. Ако $x+y=3$ и $xy=-2$, то намерете $x^3+y^3$.

11. Намерете стойността на израза $\frac{47,13^2+47,13.22,13+22,13^2}{47,13^3-22,13^3}.$

12. Пресметнете стойността на израза $\frac{81-x^2-(x+9)^2}{x+9}$ за $x=-5,75$.

13. Изразът $(-a-2b)^2-a-2b$ е тъждествено равен на израза:

А) $(a+2b)(a+2b-1)$ 

Б) $(a+2b)(a+2b+1)$ 

В) $(-a-2b)(a+2b+1)$ 

Г) $(-a-2b)(a+2b-1)$

 (Национално външно оценяване по математика за 7 клас 2020 г.)

14. Представете израза $G=(x^2-x+1)^2-10(x^2-x+1)+21$ като произведение от четири множителя. Пресметнете стойността му при $x=\frac{3^{-1}.2^{-1}-3^0.2^{-1}}{6^{-1}}$.

15. Даден е многочленът $M=5x^2-25x+30$.

а) Разложете $M$ на множители.

б) Решете уравнението $M=0$.

в) Докажете, че ако $x$ е цяло число, то $M$ се дели на $10$.

Ако искате да разгледате още допълнително решени задачи по темата може да го направите във видеата ми по-долу:

Използвана литература:

1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020

2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020 

3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София

4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018

5. Текуща подготовка по математика за наицоналното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020

6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015 

7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017

8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008

9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011

10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014

11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009

12. Сп. Математика

13. Сп. Математика +