Първи и втори признак за еднаквост на триъгълници 7 клас
Еднакви триъгълници - дефиниции, признаци и задачи
Определение 1: Два триъгълника, които имат съответно равни страни и съответно равни ъгли, се наричат еднакви.


Твърдението, че \triangle ABC е еднакъв на \triangle A_1B_1C_1 ще означаваме по следния начин \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1.
Теорема 1 (първи признак за еднаквост): Ако две страни и ъгъл заключен между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл заключен между тях от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
Теорема 2 (втори признак за еднаквост): Ако страна и двата прилежащи към нея ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи към нея ъгъла на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
Определение 2: В два еднакви триъгълника височините, медианите и ъглополовящите през съответните върхове се наричат съответни височини, съответни медиани и съответни ъглополовящи.
1 Задача: Отсечките AB и CD се пресичат в общата им среда - точката O. Докажете, че \triangle AOC\cong\triangle BOD.

Решение: Разглеждаме \triangle AOC и \triangle BOD.
1) AO=BO (точката O е среда на AB)
2) CO=DO (точката O е среда на CD)
3) \sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD (връхни ъгли),
Следователно \triangle AOC\cong\triangle BOD по I признак.
2 Задача: В остроъгълния триъгълник ABC височините AH_1 и BH_2 сключват със страната AB равни ъгли. Докажете, че:
а) \triangle ABH_2\cong\triangle BAH_1;
б) \triangle AH_1C\cong\triangle BH_2C;
в) \triangle AOH_2\cong\triangle BOH_1, където O е пресечната точка на AH_1 и BH_2.

Решение а): Тъй като AH_1 и BH_2 са височини следва, че \sphericalangle AH_1B=\sphericalangle AH_1C=90^{\circ} и \sphericalangle BH_2A=\sphericalangle BH_2C=90^{\circ}. Следователно за триъгълника ABH_1 имаме, че \sphericalangle ABH_1=90^{\circ}-\alpha и аналогично за триъгълника BAH_2 имаме, че \sphericalangle BAH_2=90^{\circ}-\alpha.
Разглеждаме триъгълниците ABH_2 и BAH_1:
1) AB - обща
2) \sphericalangle H_2BA=\sphericalangle H_1AB=\alpha (по условие)
3) \sphericalangle BAH_2=\sphericalangle ABH_1=90^{\circ}-\alpha
Следователно \triangle ABH_2\cong\triangle BAH_1 по II признак.
Решение б): Нека \sphericalangle C=\gamma, следователно \sphericalangle H_1AC=90^{\circ}-\gamma и \sphericalangle H_2BC=90^{\circ}-\gamma.
Разглеждаме \triangle AH_1C и \triangle BH_2C:
1) \sphericalangle AH_1C=\sphericalangle BH_2C=90^{\circ}
2) \sphericalangle H_1AC=\sphericalangle H_2BC=90^{\circ}-\gamma
3) AH_1=BH_2 (от подточка а))
Следователно \triangle AH_1C\cong\triangle BH_2C по II признак.
Решение в): Разглеждаме \triangle AOH_2 и \triangle BOH_1:
1) AH_2=BH_1 (от подточка а))
2) \sphericalangle H_2AO=\sphericalangle H_1BO (от подточка б))
3) \sphericalangle AH_2O=\sphericalangle BH_1O=90^{\circ}
Следователно \triangle AOH_2\cong\triangle BOH_1 по II признак.
3 Задача: В четириъгълника ABCD диагоналът AC е ъглополовяща на \sphericalangle BAD и на \sphericalangle BCD.
а) Докажете, че \triangle ABC\cong\triangle ADC.
б) Ако периметърът на ABCD е 26 cm и AC=10 cm, намерете периметъра на \triangle ABC.
Решение а): Нека \sphericalangle BAD=\alpha и \sphericalangle BCD=\beta, следва, че \sphericalangle DAC=\sphericalangle CAB=\frac{\alpha}{2} и \sphericalangle DCA=\sphericalangle ACB=\frac{\beta}{2}.
Разглеждаме \triangle ACD и \triangle ABC:
1) \sphericalangle DAC=\sphericalangle BAC=\frac{\alpha}{2}
2) \sphericalangle DCA=\sphericalangle ACB=\frac{\beta}{2}
3) AC - обща
Следователно \triangle ACD\cong\triangle ABC по II признак.
Решение б): От \triangle ACD\cong\triangle ABC \implies BC=DC и AD=AB. За периметъра на четириъгълника имаме:
P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=2AB+2BC=26 cm
Откъдето AB+BC=13 cm.
Така за периметъра на \triangle ABC получаваме:
P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=13+10=23 cm.
Задачи за самостоятелна работа
1. За \triangle ABC и \triangle A_1B_1C_1 е дадено, че медианите CM и C_1M_1 са равни. Ако AB=A_1B_1 и AC=A_1C_1, докажете, че:
а) \triangle AMC\cong\triangle A_1M_1C_1; б) \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1
2. Дадени са еднаквите \triangle ABC и \triangle A_1B_1C_1. Точките D и D_1 са средите на страните AB и A_1B_1. Да се докаже, че \triangle ADC\cong\triangle A_1D_1C_1.
3. Нека BL и B_1L_1 са ъглополовящи съответно в \triangle ABC и \triangle A_1B_1C_1. Докажете, че ако \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1, то BL=B_1L_1.
Видео уроци:
Още обяснени и решени задачи свързани с този урок можете да намерите в клипа ми даден по-долу:
Използвана литература:
1. Сборник за 7 клас, Пенка Рангелова, Константин Бекриев, Лилия Дилкина, Нина Иванова изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. Тест Математика 7 клас, Донка Гълъбова, Адриана Хаджийска, Анна Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. Сборник задачи по математика за 7 клас, Мария Лилкова, Пенка Нинова, Таня Стоева и др., изд. Просвета, София
4. Книга за ученика за 7 клас, Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. Текуща подготовка по математика за националното външно оценяване в 7 клас, Боянка Савова, Мария Тодорова, Веселин Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. Нови пробни изпити за външно оценяване и кандидатстване след 7 клас, изд. Регалия 6, София 2015
7. Тестове по математика, Любомир Любенов, Цеца Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. Нови тематични и общи тестове по математика за 7 клас, Марина Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. Учебно помагало за задължително избираема подготовка по математика за 7 клас, Иван Тонов, Таня Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. Тестове по математика за 7 клас, Лилия Дилкина, Константин Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. Сборник контролни работи и тестове по математика 7 клас, Пенка Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. Сп. Математика
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар